Partindo da definição de potência
como a derivada temporal do trabalho
, mostre que, para uma partícula de massa
, velocidade
e sobre a qual atua uma força
:
A potência pode ser escrita como o produto escalar entre a força
e sua velocidade
.
A potência pode ser escrita como o produto escalar entre a força
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre potência e trabalho em física. Nosso objetivo é mostrar que a potência (
) pode ser expressa como o produto escalar entre a força (
) e a velocidade (
) de uma partícula. Para resolver isso, vamos precisar entender as definições de trabalho, potência e produto escalar.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que é trabalho (
). Trabalho é feito quando uma força atua sobre um objeto e o move numa certa direção. Matematicamente, é dado por:
onde
é um pequeno deslocamento na direção da força.
Passo 3
Agora, a potência (
) é definida como a taxa de variação do trabalho em relação ao tempo. Ou seja:
Passo 4
Vamos substituir a expressão do trabalho na definição de potência:
Sabemos que a derivada do trabalho em relação ao tempo representa a potência instantânea.
Passo 5
Usando o cálculo diferencial, a derivada de uma integral com limite variável é igual ao integrando avaliado nesse limite, multiplicado pela derivada do limite. Assim, temos:
Passo 6
Perceba que
é a definição de velocidade (
). Então, substituindo:
Resposta
Portanto, mostramos que a potência (
) é igual ao produto escalar entre a força (
) e a velocidade (
) da partícula: