Partindo da definição de potência P como a derivada temporal do trabalho W, mostre que, para uma partícula de massa m, velocidade v e sobre a qual atua uma força F :
A potência pode ser escrita como o produto escalar entre a força F e sua velocidade v.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre potência e trabalho em física. Nosso objetivo é mostrar que a potência ( P) pode ser expressa como o produto escalar entre a força ( F) e a velocidade ( v) de uma partícula. Para resolver isso, vamos precisar entender as definições de trabalho, potência e produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é trabalho ( W). Trabalho é feito quando uma força atua sobre um objeto e o move numa certa direção. Matematicamente, é dado por:
W = integral F cdot ds
onde ds é um pequeno deslocamento na direção da força.

Passo 3

Agora, a potência ( P) é definida como a taxa de variação do trabalho em relação ao tempo. Ou seja:
P = dWdt

Passo 4

Vamos substituir a expressão do trabalho na definição de potência:
P = ddt ( integral F cdot ds )
Sabemos que a derivada do trabalho em relação ao tempo representa a potência instantânea.

Passo 5

Usando o cálculo diferencial, a derivada de uma integral com limite variável é igual ao integrando avaliado nesse limite, multiplicado pela derivada do limite. Assim, temos:
P = F cdot dsdt

Passo 6

Perceba que dsdt é a definição de velocidade ( v). Então, substituindo:
P = F cdot v

Resposta

Portanto, mostramos que a potência ( P) é igual ao produto escalar entre a força ( F) e a velocidade ( v) da partícula:
P = F cdot v

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