Partindo da definição de potência P como a derivada temporal do trabalho W, mostre que, para uma partícula de massa m, velocidade v e sobre a qual atua uma força F :
A potência corresponde à taxa de variação da energia cinética K da partícula.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para mostrar que a potência $ P $ é igual à taxa de variação da energia cinética $ K $ de uma partícula. A matéria aqui envolve conceitos de trabalho, potência, força, velocidade e energia cinética. Para resolver isso, vamos usar a definição de potência como a derivada do trabalho em relação ao tempo e aplicar as fórmulas de física relacionadas à força e movimento.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é potência. Potência $ P $ é definida como a taxa de variação do trabalho $ W $ no tempo, ou seja:
P
Isso significa que a potência mede quão rápido o trabalho está sendo realizado.

Passo 3

Agora, vamos ver o que é trabalho. Trabalho $ W $ é dado pelo produto da força $ \vec{F} $ pela deslocamento $ \vec{s} $ na direção da força:
W
Mas como queremos a derivada em relação ao tempo, precisamos expressar $ \vec{s} $ em termos de velocidade.

Passo 4

Sabemos que a velocidade $ \vec{v} $ é a derivada do deslocamento em relação ao tempo:
v
Então, podemos reescrever o trabalho em termos de velocidade multiplicando a força pela velocidade e integrando ao longo do tempo.

Passo 5

Para encontrar a potência, vamos derivar o trabalho com relação ao tempo:
P = dWdt = ddt (F cdot s) = F cdot dsdt = F cdot v
Aqui usamos a regra do produto para derivadas e substituímos $ \frac{d\vec{s}}{dt} $ por $ \vec{v} $.

Passo 6

Agora, vamos conectar isso com a energia cinética $ K $. A energia cinética é dada por:
K
Queremos encontrar a taxa de variação de $ K $ em relação ao tempo:
K = 12 m v^2

Passo 7

Sabemos que a força $ \vec{F} $ está relacionada com a aceleração $ \vec{a} $ pela segunda lei de Newton:
F
Então, podemos substituir $ \frac{dv}{dt} $ por $ \frac{F}{m} $ na expressão da derivada da energia cinética.

Passo 8

Substituindo na derivada da energia cinética:
dKdt = m v Fm = v F
Ou seja:
dKdt = F cdot v = P

Resposta

Então, mostramos que a potência $ P $ é igual à taxa de variação da energia cinética $ \frac{dK}{dt} $ da partícula:
P

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