- A partir das definições de concentrações, velocidades e fluxos mostre que para um sistema binário:
Dica: Explore as definições das Tabelas 1, 3 e 4 da Pré-aula 01.
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar a identidade
Informações / definições relevantes que vou usar (tiradas das Tabelas indicadas):
-
é a concentração total molar (mol/m ). -
é a fração molar da espécie ( ). - A concentração da espécie
é . -
é o fluxo molar da espécie no referencial de laboratório (unidade mol/(m^2·s)), e portanto , onde é a velocidade da espécie . -
é o volume molar parcial da espécie (m^3/mol). - No referencial fixado ao volume (volume-fixed frame) define-se o fluxo relativo
onde
é a velocidade média do volume.
- A velocidade média do volume satisfaz (pois
é o volume por unidade de volume)
- Observação importante (consistência dimensional): como
tem unidade mol/m^3 e tem m^3/mol, tem-se a identidade
Para o sistema binário isto será usada explicitamente.
Passo 2
Escrever
em termos de
e de
. Pela definição citada:
Aqui explicito o que cada símbolo significa:
-
: fluxo molar da espécie referido ao referencial fixado ao volume. -
: fluxo molar absoluto da espécie . -
: concentração molar da espécie , isto é . -
: velocidade média do volume.
Passo 3
Somar
e
usando a fórmula do passo anterior:
Como
, isto é
Expliquei: somar os dois fluxos relativos dá a soma dos fluxos absolutos menos o termo de arraste pelo movimento do volume.
Passo 4
Expressar
em termos de
e
. Pela definição de
e usando
obtemos
No caso binário isto fica
Também recordo a identidade (já mencionada) para o sistema binário:
ou usando
,
Passo 5
Substituir
de passo 4 em
do passo 3:
Organizando em termos de
e
:
Cada termo tem interpretação clara:
é o fluxo da espécie
multiplicado por um fator relacionado ao desvio entre a velocidade molar e a velocidade de volume.
Passo 6
Relacionar
com
usando a restrição de volume. Partindo de
isolamos
:
Agora calculo
:
Como
, isto é
Uma forma alternativa e muitas vezes útil é escrever
Ambas as expressões são equivalentes; vou usar a que facilita a próxima substituição.
Passo 7
Substituir a relação do passo 6 na expressão do passo 5. Usando
temos
Portanto obtivemos a forma
Passo 8
Transformar a forma obtida no passo anterior para a versão do enunciado. Observando que
, multiplicando por
dentro do parêntese dá a forma pedida pelo enunciado. Assim a identidade desejada é verificada (a expressão final será colocada abaixo).