1. A partir das definições de concentrações, velocidades e fluxos mostre que para um sistema binário:
J_{1}^{V}+J_{2}^{V}=\left(\frac{x_{2}}{x_{1}} N_{1}-N_{2}\right)\left(c \bar{V}_{2}-1\right)
Dica: Explore as definições das Tabelas 1, 3 e 4 da Pré-aula 01.

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar a identidade
J_{1}^{V}+J_{2}^{V}=\left(\frac{x_{2}}{x_{1}} N_{1}-N_{2}\right)\left(c \bar{V}_{2}-1\right).
Informações / definições relevantes que vou usar (tiradas das Tabelas indicadas):
  • c é a concentração total molar (mol/m ^3).
  • x_{i} é a fração molar da espécie i ( x_{1}+x_{2}=1).
  • A concentração da espécie i é c_{i}=c\,x_{i}.
  • N_{i} é o fluxo molar da espécie i no referencial de laboratório (unidade mol/(m^2·s)), e portanto N_{i}=c_{i} v_{i}, onde v_{i} é a velocidade da espécie i.
  • \bar{V}_{i} é o volume molar parcial da espécie i (m^3/mol).
  • No referencial fixado ao volume (volume-fixed frame) define-se o fluxo relativo
J_{i}^{V}=c_{i}\bigl(v_{i}-v^{V}\bigr)=N_{i}-c_{i}v^{V},
onde v^{V} é a velocidade média do volume.
  • A velocidade média do volume satisfaz (pois \sum_{i} c_{i}\bar V_{i} é o volume por unidade de volume)
v^{V}=\sum_{i} c_{i}\bar V_{i} v_{i}.
  • Observação importante (consistência dimensional): como c_{i} tem unidade mol/m^3 e \bar V_{i} tem m^3/mol, tem-se a identidade
\sum_{i} c_{i}\bar V_{i}=1.
Para o sistema binário isto será usada explicitamente.

Passo 2

Escrever J_{i}^{V} em termos de N_{i} e de v^{V}. Pela definição citada:
J_{i}^{V}=N_{i}-c_{i}v^{V}.
Aqui explicito o que cada símbolo significa:
  • J_{i}^{V}: fluxo molar da espécie i referido ao referencial fixado ao volume.
  • N_{i}: fluxo molar absoluto da espécie i.
  • c_{i}: concentração molar da espécie i, isto é c_{i}=c x_{i}.
  • v^{V}: velocidade média do volume.

Passo 3

Somar J_{1}^{V} e J_{2}^{V} usando a fórmula do passo anterior:
J_{1}^{V}+J_{2}^{V}=(N_{1}-c_{1}v^{V})+(N_{2}-c_{2}v^{V})=N_{1}+N_{2}-v^{V}(c_{1}+c_{2}).
Como c_{1}+c_{2}=c, isto é
J_{1}^{V}+J_{2}^{V}=N_{1}+N_{2}-c\,v^{V}.
Expliquei: somar os dois fluxos relativos dá a soma dos fluxos absolutos menos o termo de arraste pelo movimento do volume.

Passo 4

Expressar v^{V} em termos de \bar V_{i} e N_{i}. Pela definição de v^{V} e usando N_{i}=c_{i}v_{i} obtemos
v^{V}=\sum_{i} c_{i}\bar V_{i}v_{i}=\sum_{i}\bar V_{i}N_{i}.
No caso binário isto fica
v^{V}=\bar V_{1}N_{1}+\bar V_{2}N_{2}.
Também recordo a identidade (já mencionada) para o sistema binário:
c_{1}\bar V_{1}+c_{2}\bar V_{2}=1,
ou usando c_{i}=c x_{i},
c\bigl(x_{1}\bar V_{1}+x_{2}\bar V_{2}\bigr)=1.

Passo 5

Substituir v^{V} de passo 4 em J_{1}^{V}+J_{2}^{V} do passo 3:
J_{1}^{V}+J_{2}^{V}=N_{1}+N_{2}-c\bigl(\bar V_{1}N_{1}+\bar V_{2}N_{2}\bigr).
Organizando em termos de N_{1} e N_{2}:
J_{1}^{V}+J_{2}^{V}=N_{1}\bigl(1-c\bar V_{1}\bigr)+N_{2}\bigl(1-c\bar V_{2}\bigr).
Cada termo tem interpretação clara: N_{i}(1-c\bar V_{i}) é o fluxo da espécie i multiplicado por um fator relacionado ao desvio entre a velocidade molar e a velocidade de volume.

Passo 6

Relacionar 1-c\bar V_{1} com 1-c\bar V_{2} usando a restrição de volume. Partindo de
c\bigl(x_{1}\bar V_{1}+x_{2}\bar V_{2}\bigr)=1,
isolamos c\bar V_{1}:
c\bar V_{1}=\frac{1-x_{2}c\bar V_{2}}{x_{1}}.
Agora calculo 1-c\bar V_{1}:
1-c\bar V_{1}=1-\frac{1-x_{2}c\bar V_{2}}{x_{1}}=\frac{x_{1}-1+x_{2}c\bar V_{2}}{x_{1}}.
Como x_{1}-1=-x_{2}, isto é
1-c\bar V_{1}=\frac{-x_{2}+x_{2}c\bar V_{2}}{x_{1}}=\frac{x_{2}}{x_{1}}\bigl(c\bar V_{2}-1\bigr).
Uma forma alternativa e muitas vezes útil é escrever
1-c\bar V_{1}=-\frac{x_{2}}{x_{1}}\bigl(1-c\bar V_{2}\bigr).
Ambas as expressões são equivalentes; vou usar a que facilita a próxima substituição.

Passo 7

Substituir a relação do passo 6 na expressão do passo 5. Usando
1-c\bar V_{1}=-\frac{x_{2}}{x_{1}}\bigl(1-c\bar V_{2}\bigr),
temos
\begin{aligned} J_{1}^{V}+J_{2}^{V} &=N_{1}\bigl(1-c\bar V_{1}\bigr)+N_{2}\bigl(1-c\bar V_{2}\bigr)\\[4pt] &=N_{1}\left[-\frac{x_{2}}{x_{1}}\bigl(1-c\bar V_{2}\bigr)\right]+N_{2}\bigl(1-c\bar V_{2}\bigr)\\[4pt] &=\bigl(1-c\bar V_{2}\bigr)\left(-\frac{x_{2}}{x_{1}}N_{1}+N_{2}\right). \end{aligned}
Portanto obtivemos a forma
J_{1}^{V}+J_{2}^{V}=\bigl(1-c\bar V_{2}\bigr)\left(N_{2}-\frac{x_{2}}{x_{1}}N_{1}\right).]

Passo 8

Transformar a forma obtida no passo anterior para a versão do enunciado. Observando que \bigl(1-c\bar V_{2}\bigr)=-\bigl(c\bar V_{2}-1\bigr), multiplicando por -1 dentro do parêntese dá a forma pedida pelo enunciado. Assim a identidade desejada é verificada (a expressão final será colocada abaixo).

Resposta

J_{1}^{V}+J_{2}^{V}=\left(\frac{x_{2}}{x_{1}} N_{1}-N_{2}\right)\left(c \bar{V}_{2}-1\right)

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