Partindo-se das definições de índices físicos, demonstre que:
w=\frac{\gamma_{s}-\gamma_{d}}{\gamma_{s} \cdot \gamma_{d}} S \cdot \gamma_{w}

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar, a partir das definições de índices físicos de um solo, a relação
w = \frac{\gamma_{s}-\gamma_{d}}{\gamma_{s}\,\gamma_{d}}\;S\;\gamma_{w}
onde w é o teor de umidade, \gamma_{d} a densidade seca, \gamma_{s} a densidade dos sólidos, S o grau de saturação e \gamma_{w} o peso específico da água.

Passo 2

Definimos o teor de umidade w como a razão entre a massa de água \,M_{w}\, e a massa de sólidos \,M_{s}\,:
w = \frac{M_{w}}{M_{s}}.

Passo 3

O grau de saturação S é a razão entre o volume de água nos vazios V_{w} e o volume de vazios V_{v}:
S = \frac{V_{w}}{V_{v}} \quad\Longrightarrow\quad V_{w} = S\,V_{v}.

Passo 4

A densidade seca \gamma_{d} relaciona M_{s} e o volume total V:
\gamma_{d} = \frac{M_{s}}{V} \quad\Longrightarrow\quad V = \frac{M_{s}}{\gamma_{d}}.
A densidade dos sólidos \gamma_{s} relaciona M_{s} e o volume dos sólidos V_{s}:
\gamma_{s} = \frac{M_{s}}{V_{s}} \quad\Longrightarrow\quad V_{s} = \frac{M_{s}}{\gamma_{s}}.
Logo, o volume de vazios é
V_{v} = V - V_{s} = M_{s}\Bigl(\tfrac{1}{\gamma_{d}} - \tfrac{1}{\gamma_{s}}\Bigr).

Passo 5

Substituindo em V_{w}=S\,V_{v}, obtemos
V_{w} = S\,M_{s}\Bigl(\tfrac{1}{\gamma_{d}} - \tfrac{1}{\gamma_{s}}\Bigr).

Passo 6

A massa de água é dada por M_{w} = \gamma_{w}\,V_{w}. Assim,
M_{w} = \gamma_{w}\;S\,M_{s}\Bigl(\tfrac{1}{\gamma_{d}} - \tfrac{1}{\gamma_{s}}\Bigr).

Passo 7

Finalmente, dividindo por M_{s} para obter w:
w = \frac{M_{w}}{M_{s}} = \gamma_{w}\,S\Bigl(\tfrac{1}{\gamma_{d}} - \tfrac{1}{\gamma_{s}}\Bigr).
E, como
\tfrac{1}{\gamma_{d}} - \tfrac{1}{\gamma_{s}} = \frac{\gamma_{s}-\gamma_{d}}{\gamma_{s}\,\gamma_{d}},
concluímos
w = \frac{\gamma_{s}-\gamma_{d}}{\gamma_{s}\,\gamma_{d}}\;S\;\gamma_{w}.

Resposta

w = \frac{\gamma_{s}-\gamma_{d}}{\gamma_{s}\,\gamma_{d}}\;S\;\gamma_{w}

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