Partindo-se das definições de índices físicos, demonstre que:
\quad \gamma_{\text {sub }}=(1-n)\left(\gamma_{s}-\gamma_{w}\right)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, a partir das definições de índices físicos de um solo saturado, que
\gamma_{\text{sub}} = (1 - n)\bigl(\gamma_{s} - \gamma_{w}\bigr),
onde:
n é a porosidade (fração volumétrica de vazios),
\gamma_{s} é o peso específico do sólido,
\gamma_{w} é o peso específico da água,
\gamma_{\text{sub}} é o peso específico efetivo (submerso).
Para isso vamos usar:
  1. Expressão da massa volúmica saturada em função de n.
  2. Definição de massa volúmica submersa como diferença entre massa volúmica saturada e da água.
  3. Relação entre peso específico e massa volúmica ( \gamma = \rho\,g).

Passo 2

Considere um volume unitário de solo saturado. A fração volumétrica de sólidos é (1-n) e a de água é n. Logo, a massa volúmica (densidade) saturada é
\rho_{\text{sat}} = (1-n)\,\rho_{s} \;+\; n\,\rho_{w},
pois \rho_{s} é a densidade do sólido e \rho_{w} a da água.

Passo 3

A massa volúmica submersa \rho_{\text{sub}} é definida como a diferença entre a massa volúmica saturada e a da água livre, devido ao empuxo:
\rho_{\text{sub}} = \rho_{\text{sat}} \;-\; \rho_{w} = \bigl[(1-n)\,\rho_{s} + n\,\rho_{w}\bigr] - \rho_{w} = (1-n)\,\rho_{s} \;+\; n\,\rho_{w} - \rho_{w} = (1-n)\,\rho_{s} - (1-n)\,\rho_{w} = (1-n)\,(\rho_{s} - \rho_{w}).

Passo 4

Finalmente, como peso específico \gamma = \rho\,g, multiplica-se ambos os lados por g:
\gamma_{\text{sub}} = \rho_{\text{sub}}\,g = (1-n)\,(\rho_{s} - \rho_{w})\,g = (1-n)\,(\gamma_{s} - \gamma_{w}).

Resposta

\gamma_{\text{sub}} = (1 - n)\,\bigl(\gamma_{s} - \gamma_{w}\bigr).

Exercícios relacionados