Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem (y - x^3),dx + (y^3 + x),dy = 0. O conteúdo principal é equações exatas e, se necessário, fator integrante. Vamos verificar a exatidão e depois encontrar a função potencial varphi(x,y).

Passo 2

Aqui temos M(x,y)=y - x^3 e N(x,y)=y^3 + x. Calculamos
partial Mpartial y=1 e partial Npartial x=1
Como partial M/partial y=partial N/partial x, a equação é exata, ou seja, o fator integrante é mu(x,y)=1.

Passo 3

Para achar a função potencial varphi(x,y) tal que dvarphi=M,dx+N,dy, integramos M em relação a x:
varphi(x,y)=integral(y - x^3),dx=xy-x^44+h(y),
onde h(y) é uma função desconhecida. Em seguida, impomos varphiy=N:
varphiy=x+h'(y)=y^3+x Longrightarrow h'(y)=y^3
Integrando, obtemos
h(y)=y^44+constante,
que podemos absorver na constante final.

Passo 4

Substituindo h(y) em varphi(x,y), a solução implícita geral fica:
xy-x^44+y^44=C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

xy - \frac{x^{4}}{4} + \frac{y^{4}}{4} = C

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