Resolva as equações diferenciais de primeira ordem abaixo, determinando um fator integrante para as não-exatas:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
. O conteúdo principal é equações exatas e, se necessário, fator integrante. Vamos verificar a exatidão e depois encontrar a função potencial
.
Passo 2
Aqui temos
e
. Calculamos
Como
, a equação é exata, ou seja, o fator integrante é
.
Passo 3
Para achar a função potencial
tal que
, integramos
em relação a
:
onde
é uma função desconhecida. Em seguida, impomos
:
Integrando, obtemos
que podemos absorver na constante final.
Passo 4
Substituindo
em
, a solução implícita geral fica:
onde
é a constante de integração.
Resposta
xy - \frac{x^{4}}{4} + \frac{y^{4}}{4} = C