Usando as idealizações de uma dimensão \mathrm{T}(\mathrm{r}), regime permanente, a Equação Diferencial Ordinária (EDO), para o caso de um cilindro oco, isolado na superficie interna, condutividade térmica \mathbf{k}, de raio interno \mathbf{R i} e espessura \mathbf{e}, a qual contêm uma fonte de calor por unidade de volume S, a EDO pode ser representada, adimensional, por
Onde \bar{t}(\bar{x})=\frac{T(r)-T r e}{S a^{2} / k} e \bar{x}=\frac{r}{R_{i}}, \mathrm{~T}_{\text {ne }} é uma temperatura conhecida.
Assumindo c_{1} e c_{2} constantes a serem determinadas através das condições de contorno e que a solução geral para a EDO adimensional é dada por
O que o enunciado pede: calcular o calor dissipado pelo cilindro por unidade de comprimento (ou seja, a potência que sai pela superfície externa por metro de comprimento).
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
Condição de contorno importante dada no enunciado: a superfície interna (r=R_{i}) está isolada (nenhum fluxo de calor pela superfície interna). A superfície externa tem temperatura 200^\circ\mathrm{C} (essa informação é dada mas não precisamos conhecer outras temperaturas de referência para responder à pergunta de potência dissipada).
Observação: a EDO adimensional e a solução geral foram apresentadas no enunciado, mas aqui o enunciado também diz que a superfície interna é isolada — isso implica que todo calor gerado internamente deverá sair pela superfície externa em regime permanente. A partir disso conseguimos determinar a potência por unidade de comprimento sem precisar conhecer constantes adimensionais nem uma temperatura de referência adicional.
Passo 2
Ideia física e fórmula básica (aula curta e prática): em regime permanente, com geração volumétrica S (unidade W/m³) e sem perda pela superfície interna, toda a potência gerada em cada fatia do cilindro (por unidade de comprimento) deve sair pela superfície externa. Portanto a potência gerada por unidade de comprimento q' é simplesmente a geração por volume multiplicada pela área da seção transversal (área entre os raios interno e externo) por unidade de comprimento.
A área da seção transversal do anel (por unidade de comprimento) é a área entre dois círculos:
A=\pi\bigl(R_{o}^{2}-R_{i}^{2}\bigr).
Portanto a potência gerada (e dissipada pela superfície externa) por unidade de comprimento é
q'=S\cdot A = S\cdot \pi\bigl(R_{o}^{2}-R_{i}^{2}\bigr).
Explicação das unidades: S tem unidade \mathrm{W/m^{3}}, A tem unidade \mathrm{m^{2}}, então S\cdot A tem unidade \mathrm{W/m} que é potência por unidade de comprimento — exatamente o que se pede.
Portanto a potência dissipada pelo cilindro por unidade de comprimento é 9000\pi\\ \mathrm{W/m}, que equivale aproximadamente a 2{,}827\times 10^{4}\\ \mathrm{W/m}.
Passo 4
Verificação física rápida e dica de prova: alternativamente você poderia calcular o fluxo por Fourier na superfície externa usando
mas para obter \left.dT/dr\right|_{R_{o}} teria que resolver a EDO e determinar as constantes com as condições de contorno (isolamento em r=R_{i} e temperatura conhecida em r=R_{o}); isso exige conhecer a referência usada na adimensionalização. Como todo o calor gerado no volume sai pela superfície externa, a forma mais direta e robusta em prova é usar a conservação de energia que fizemos acima. É rápido, seguro e evita detalhes de adimensionalização que podem confundir quando faltar alguma referência.
Força aí — você já tem o resultado e o raciocínio físico que prova está esperando.