Partindo da equação geral da condução de calor em coordenadas cilíndricas:
\nabla^{2} \mathrm{~T}+\frac{\mathrm{S}}{\mathrm{~K}}=\frac{1}{\alpha} \frac{\partial \mathrm{~T}}{\partial \theta}
Usando as idealizações de uma dimensão \mathrm{T}(\mathrm{r}), regime permanente, a Equação Diferencial Ordinária (EDO), para o caso de um cilindro oco, isolado na superficie interna, condutividade térmica \mathbf{k}, de raio interno \mathbf{R i} e espessura \mathbf{e}, a qual contêm uma fonte de calor por unidade de volume S, a EDO pode ser representada, adimensional, por
\frac{1}{x} \frac{d}{d x}\left(\bar{x} \frac{d t}{d x}\right)+1=0
Onde \bar{t}(\bar{x})=\frac{T(r)-T r e}{S a^{2} / k} e \bar{x}=\frac{r}{R_{i}}, \mathrm{~T}_{\text {ne }} é uma temperatura conhecida.
Assumindo c_{1} e c_{2} constantes a serem determinadas através das condições de contorno e que a solução geral para a EDO adimensional é dada por
\bar{t}=-\left(\bar{x}^{2} / 4\right)+c_{1} \ln \bar{x}+c_{2}
Se a superfície externa do cilindro tem temperatura 200^{\circ} \mathrm{C}, qual o valor do calor dissipado pelo cilindro por unidade de comprimento?
DADOS: \mathrm{S}=10^{5} \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{3}, \mathrm{k}=80 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{\circ} \mathrm{C} ; \mathrm{R}_{\mathrm{i}}=0,40 \mathrm{~m} e \mathrm{e}=0,10 \mathrm{~m}.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o calor dissipado pelo cilindro por unidade de comprimento (ou seja, a potência que sai pela superfície externa por metro de comprimento).
Dados fornecidos (vou listar tudo explicitamente):
S=10^{5}\\ \mathrm{W/m^{3}},\quad k=80\\ \mathrm{W/(m\,^\circ C)},\quad R_{i}=0{,}40\\ \mathrm{m},\quad e=0{,}10\\ \mathrm{m},
logo o raio externo é
R_{o}=R_{i}+e.
Condição de contorno importante dada no enunciado: a superfície interna ( r=R_{i}) está isolada (nenhum fluxo de calor pela superfície interna). A superfície externa tem temperatura 200^\circ\mathrm{C} (essa informação é dada mas não precisamos conhecer outras temperaturas de referência para responder à pergunta de potência dissipada).
Observação: a EDO adimensional e a solução geral foram apresentadas no enunciado, mas aqui o enunciado também diz que a superfície interna é isolada — isso implica que todo calor gerado internamente deverá sair pela superfície externa em regime permanente. A partir disso conseguimos determinar a potência por unidade de comprimento sem precisar conhecer constantes adimensionais nem uma temperatura de referência adicional.

Passo 2

Ideia física e fórmula básica (aula curta e prática): em regime permanente, com geração volumétrica S (unidade W/m³) e sem perda pela superfície interna, toda a potência gerada em cada fatia do cilindro (por unidade de comprimento) deve sair pela superfície externa. Portanto a potência gerada por unidade de comprimento q' é simplesmente a geração por volume multiplicada pela área da seção transversal (área entre os raios interno e externo) por unidade de comprimento.
A área da seção transversal do anel (por unidade de comprimento) é a área entre dois círculos:
A=\pi\bigl(R_{o}^{2}-R_{i}^{2}\bigr).
Portanto a potência gerada (e dissipada pela superfície externa) por unidade de comprimento é
q'=S\cdot A = S\cdot \pi\bigl(R_{o}^{2}-R_{i}^{2}\bigr).
Explicação das unidades: S tem unidade \mathrm{W/m^{3}}, A tem unidade \mathrm{m^{2}}, então S\cdot A tem unidade \mathrm{W/m} que é potência por unidade de comprimento — exatamente o que se pede.

Passo 3

Cálculos numéricos passo a passo.
Primeiro calcule o raio externo:
R_{o}=R_{i}+e=0{,}40+0{,}10=0{,}50\\ \mathrm{m}.
Calcule R_{o}^{2} e R_{i}^{2}:
R_{o}^{2}=0{,}50^{2}=0{,}25\\ \mathrm{m^{2}},\qquad R_{i}^{2}=0{,}40^{2}=0{,}16\\ \mathrm{m^{2}}.
Diferença:
R_{o}^{2}-R_{i}^{2}=0{,}25-0{,}16=0{,}09\\ \mathrm{m^{2}}.
Área da seção transversal:
A=\pi\bigl(R_{o}^{2}-R_{i}^{2}\bigr)=\pi\cdot 0{,}09=0{,}09\pi\\ \mathrm{m^{2}}.
Potência por unidade de comprimento:
q'=S\cdot A = 10^{5}\cdot 0{,}09\pi =9000\pi\\ \mathrm{W/m}.
Agora uma aproximação numérica:
q'\approx 9000\times 3{,}14159265 \approx 28274{,}33\\ \mathrm{W/m}.
Portanto a potência dissipada pelo cilindro por unidade de comprimento é 9000\pi\\ \mathrm{W/m}, que equivale aproximadamente a 2{,}827\times 10^{4}\\ \mathrm{W/m}.

Passo 4

Verificação física rápida e dica de prova: alternativamente você poderia calcular o fluxo por Fourier na superfície externa usando
q'=-k\cdot 2\pi R_{o}\left.\frac{dT}{dr}\right|_{r=R_{o}}
mas para obter \left.dT/dr\right|_{R_{o}} teria que resolver a EDO e determinar as constantes com as condições de contorno (isolamento em r=R_{i} e temperatura conhecida em r=R_{o}); isso exige conhecer a referência usada na adimensionalização. Como todo o calor gerado no volume sai pela superfície externa, a forma mais direta e robusta em prova é usar a conservação de energia que fizemos acima. É rápido, seguro e evita detalhes de adimensionalização que podem confundir quando faltar alguma referência.
Força aí — você já tem o resultado e o raciocínio físico que prova está esperando.

Resposta

q'=9000\pi\\ \mathrm{W/m}\approx 2{,}8274\times 10^{4}\\ \mathrm{W/m}

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