Um reservatório esférico de aço inoxidável ( k=15 W / m \cdot K ) tem diâmetro interno de 3 m e espessura de 5 cm . A temperatura interna é mantida a 350^{\circ} \mathrm{C}. A superfície externa do tanque é isolada com lã de rocha ( k_{\text {isol }}=0,04 \mathrm{~W} / \mathrm{m} \cdot \mathrm{K} ) de 10 cm de espessura. O ar ambiente está a 35^{\circ} \mathrm{C}, e o coeficiente de transferência de calor por convecção na superfície externa do isolamento é h=10 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{2} \cdot \mathrm{~K}. Determine:
a) A resistência térmica total.
b) A taxa de perda de calor do reservatório.
c) A temperatura na superfície externa do reservatório de aço.

Passo 1

Primeiro vamos entender claramente o que o enunciado pede e quais dados temos à mão.
Perguntas do enunciado:
  • (a) Determinar a resistência térmica total entre a temperatura interna e o ar ambiente.
  • (b) Determinar a taxa de perda de calor do reservatório (potência perdida).
  • (c) Determinar a temperatura na superfície externa do reservatório de aço (ou seja, na interface aço / isolamento).
Dados fornecidos (vou escrever tudo com unidades):
\begin{aligned} &\text{condutividade do aço: } k_{\text{aço}}=15\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\\\ &\text{diâmetro interno do reservatório: } D_{\text{int}}=3{,}0\\ \mathrm{m},\\\ &\text{espessura do aço: } t_{\text{aço}}=0{,}05\\ \mathrm{m},\\\ &\text{condutividade do isolamento (lã de rocha): } k_{\text{isol}}=0{,}04\\ \mathrm{W/(m\cdot K)},\\\ &\text{espessura do isolamento: } t_{\text{isol}}=0{,}10\\ \mathrm{m},\\\ &\text{temperatura interna mantida: } T_{\text{int}}=350^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{temperatura ambiente: } T_{\infty}=35^\circ\mathrm{C},\\\ &\text{coeficiente convectivo externo: } h=10\\ \mathrm{W/(m^2\cdot K)}. \end{aligned}ççâóççã
Observação importante (que vou usar): o enunciado diz que a temperatura interna é mantida a \,350^\circ\mathrm{C}. Isso permite tratá-la como uma condição de temperatura fixa (ou seja, não precisamos incluir uma resistência convectiva interna extra — o “nó” inicial é a superfície interna a 350^\circ\mathrm{C}).
Também vamos calcular os raios para usar nas fórmulas esféricas:
\begin{aligned} &r_{\text{int}}=\frac{D_{\text{int}}}{2}=1{,}5\\ \mathrm{m},\\\ &r_{\text{aço,ext}}=r_{\text{int}}+t_{\text{aço}}=1{,}5+0{,}05=1{,}55\\ \mathrm{m},\\\ &r_{\text{ext}}=r_{\text{aço,ext}}+t_{\text{isol}}=1{,}55+0{,}10=1{,}65\\ \mathrm{m}. \end{aligned}ççç

Passo 2

Modelo de transferência de calor e fórmula das resistências:
O calor sai da superfície interna (temperatura fixa \,T_{\text{int}}) atravessa:
  1. o casco de aço (condução através de uma casca esférica),
  2. a camada de isolamento (condução através de casca esférica),
  3. finalmente é perdido para o ar por convecção na superfície externa.
As resistências térmicas em série para geometria esférica e convecção são:
  • Resistência de condução através de uma casca esférica entre raios r_1 e r_2:
R_{\text{cond,esfera}}=\frac{1}{4\pi k}\left(\frac{1}{r_1}-\frac{1}{r_2}\right),
onde k é a condutividade térmica do material e r_1<r_2.
  • Resistência de convecção na superfície esférica de raio r:
R_{\text{conv}}=\frac{1}{h\cdot A}=\frac{1}{h\cdot 4\pi r^2}.
A resistência térmica total será a soma:
R_{\text{total}}=R_{\text{aço}}+R_{\text{isol}}+R_{\text{conv}}.ç
Vou agora aplicar essas fórmulas com os dados numéricos.

Passo 3

Cálculo da resistência de condução através do casco de aço.
Usamos a fórmula para casca esférica com r_1=r_{\text{int}}=1{,}5\\ \mathrm{m}, r_2=r_{\text{aço,ext}}=1{,}55\\ \mathrm{m}ç e k=k_{\text{aço}}=15\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}ç:
R_{\text{aço}}=\frac{1}{4\pi k_{\text{aço}}}\left(\frac{1}{r_{\text{int}}}-\frac{1}{r_{\text{aço,ext}}}\right).ççç
Calculando passo a passo:
\frac{1}{r_{\text{int}}}=\frac{1}{1{,}5}=0{,}6666667\\ \mathrm{m^{-1}},
\frac{1}{r_{\text{aço,ext}}}=\frac{1}{1{,}55}\approx 0{,}6451613\\ \mathrm{m^{-1}},ç
diferença:
\frac{1}{r_{\text{int}}}-\frac{1}{r_{\text{aço,ext}}}\approx 0{,}0215054\\ \mathrm{m^{-1}}.ç
Agora o fator:
\frac{1}{4\pi k_{\text{aço}}}=\frac{1}{4\pi\cdot 15}=\frac{1}{60\pi}\approx 0{,}00530516\\ \mathrm{(K\cdot m)/W}.ç
Portanto
R_{\text{aço}}\approx 0{,}00530516\times 0{,}0215054 \approx 1{,}1409\times 10^{-4}\\ \mathrm{K/W}.ç

Passo 4

Cálculo da resistência de condução através do isolamento (lã de rocha).
Usamos a fórmula de casca esférica com r_1=r_{\text{aço,ext}}=1{,}55\\ \mathrm{m}ç, r_2=r_{\text{ext}}=1{,}65\\ \mathrm{m} e k=k_{\text{isol}}=0{,}04\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}:
R_{\text{isol}}=\frac{1}{4\pi k_{\text{isol}}}\left(\frac{1}{r_{\text{aço,ext}}}-\frac{1}{r_{\text{ext}}}\right).ç
Cálculo passo a passo:
\frac{1}{r_{\text{aço,ext}}}=\frac{1}{1{,}55}\approx 0{,}6451613,ç
\frac{1}{r_{\text{ext}}}=\frac{1}{1{,}65}\approx 0{,}6060606,
diferença:
0{,}6451613-0{,}6060606\approx 0{,}0391007\\ \mathrm{m^{-1}}.
Fator:
\frac{1}{4\pi k_{\text{isol}}}=\frac{1}{4\pi\cdot 0{,}04}=\frac{1}{0{,}16\pi}\approx 1{,}989436\\ \mathrm{(K\cdot m)/W}.
Portanto
R_{\text{isol}}\approx 1{,}989436\times 0{,}0391007 \approx 0{,}07779\\ \mathrm{K/W}.
Note: essa resistência é a dominante — faz sentido físico: isolamento com baixo k dá alta resistência.

Passo 5

Cálculo da resistência convectiva externa.
A convecção acontece na superfície externa do isolamento de raio r_{\text{ext}}=1{,}65\\ \mathrm{m}. A área da esfera externa é
A_{\text{ext}}=4\pi r_{\text{ext}}^2=4\pi(1{,}65)^2=4\pi\cdot 2{,}7225\approx 34{,}2038\\ \mathrm{m^2}.
A resistência convectiva é
R_{\text{conv}}=\frac{1}{h\,A_{\text{ext}}}=\frac{1}{10\cdot 34{,}2038}\approx \frac{1}{342{,}038}\approx 0{,}0029238\\ \mathrm{K/W}.

Passo 6

Somando as resistências para obter a resistência total.
Temos:
\begin{aligned} R_{\text{aço}}&\approx 1{,}1409\times 10^{-4}\\ \mathrm{K/W},\\\ R_{\text{isol}}&\approx 0{,}07779\\ \mathrm{K/W},\\\ R_{\text{conv}}&\approx 0{,}0029238\\ \mathrm{K/W}. \end{aligned}ç
Somando:
R_{\text{total}}=R_{\text{aço}}+R_{\text{isol}}+R_{\text{conv}}\approx 0{,}00011409+0{,}07779+0{,}0029238\approx 0{,}08083\\ \mathrm{K/W}.ç

Passo 7

Cálculo da taxa de perda de calor (potência) usando a diferença de temperaturas.
A diferença de temperatura entre interior e ambiente:
\Delta T=T_{\text{int}}-T_{\infty}=350-35=315\\ \mathrm{K}.
A lei de Fourier/Ohm térmico para este circuito em série dá:
\dot{Q}=\frac{\Delta T}{R_{\text{total}}}=\frac{315}{0{,}0808257}\\ (\mathrm{W}).
Usando o valor calculado para R_{\text{total}} (arredondado acima), obtemos
\dot{Q}\approx 3{,}895\times 10^{3}\\ \mathrm{W}\approx 3895\\ \mathrm{W}.

Passo 8

Cálculo da temperatura na superfície externa do reservatório de aço (interface aço/isolamento).
A queda de temperatura através do casco de aço é
\Delta T_{\text{aço}}=\dot{Q}\cdot R_{\text{aço}}.çç
Com \dot{Q}\approx 3895\\ \mathrm{W} e R_{\text{aço}}\approx 1{,}1409\times 10^{-4}\\ \mathrm{K/W}ç,
\Delta T_{\text{aço}}\approx 3895\times 1{,}1409\times 10^{-4}\approx 0{,}444^\circ\mathrm{C}.ç
Portanto a temperatura na superfície externa do aço (ou seja, logo antes do isolamento) é
T_{\text{aço,ext}}=T_{\text{int}}-\Delta T_{\text{aço}}\approx 350-0{,}444\approx 349{,}56^\circ\mathrm{C}.çç
Isso faz sentido físico: a queda no aço é muito pequena porque o aço é bom condutor (alta k) e a espessura é pequena.

Passo 9

Verificação rápida de ordens de grandeza e interpretação:
  • A maior resistência é do isolamento ( \approx 0{,}078\\ \mathrm{K/W}), logo ele controla a taxa de perda de calor.
  • A resistência convectiva e a do aço são pequenas em comparação, assim o isolamento é o mais importante para reduzir perdas.
  • A potência perdida é da ordem de alguns kW, o que parece razoável para um tanque grande com temperatura interna alta e isolamento moderado.

Resposta

a) R_{\text{total}}\approx 0{,}08083\\ \mathrm{K/W}
b) \dot{Q}\approx 3{,}895\times 10^{3}\\ \mathrm{W} (aprox. 3895\\ \mathrm{W})
c) T_{\text{superfície\\ externa\\ do\\ aço}}\approx 349{,}56^\circ\mathrm{C}íç

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