(Incropera, 6^{\underline{\mathrm{a}}} ed. - Ex. 2.8) Considerando condições de regime permanente para condução unidimensional em uma parede plana com \mathrm{k}=50[\mathrm{~W} / \mathrm{mK}] e \mathrm{L}=0,25 \mathrm{~m}, sem geração interna de calor, determine as quantidades desconhecidas da tabela:
Case \boldsymbol{T}_{\mathbf{1}}\left({ }^{\circ} \mathbf{C}\right) \boldsymbol{T}_{\mathbf{2}}\left({ }^{\circ} \mathbf{C}\right) \boldsymbol{d} \boldsymbol{T} \boldsymbol{/} \boldsymbol{d} \boldsymbol{x}(\mathbf{K} / \mathbf{m})
1 50 -20
2 -30 -10
3 70 160
4 40 -80
5 30 200

Passo 1

O enunciado dá uma parede plana com comprimento (espessura) \,L=0,25\\ \mathrm{m}\, e condutividade térmica \,k=50\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}, em regime permanente e sem geração interna. Há uma tabela com cinco casos; para cada caso estão dados alguns valores e faltam outros. As colunas são: \,T_1\\ (\!^\circ\mathrm{C}), \,T_2\\ (\!^\circ\mathrm{C}) e \,dT/dx\\ (\mathrm{K/m}).
As perguntas implícitas são: determinar os valores faltantes em cada caso da tabela (os valores que não foram fornecidos).
Dados extraídos do enunciado:
L=0{,}25\\ \mathrm{m},\qquad k=50\\ \mathrm{W/(m\cdot K)}.
Tabela (dados fornecidos):
Caso 1: \,T_1=50^\circ\mathrm{C},\\ T_2=-20^\circ\mathrm{C} (falta dT/dx).
Caso 2: \,T_1=-30^\circ\mathrm{C},\\ T_2=-10^\circ\mathrm{C} (falta dT/dx).
Caso 3: \,T_1=70^\circ\mathrm{C},\\ dT/dx=160\\ \mathrm{K/m} (falta T_2).
Caso 4: \,T_2=40^\circ\mathrm{C},\\ dT/dx=-80\\ \mathrm{K/m} (falta T_1).
Caso 5: \,T_2=30^\circ\mathrm{C},\\ dT/dx=200\\ \mathrm{K/m} (falta T_1).

Passo 2

Princípio físico e fórmula central (explicação didática): em regime permanente, unidimensional e sem geração, a equação de condução reduz-se a uma solução linear para a temperatura ao longo da espessura. Isso significa que a temperatura varia linearmente de um lado ao outro. Se definirmos x=0 na face onde está \,T_1 e x=L na face onde está \,T_2, então a inclinação (derivada) da temperatura é constante e dada por
\frac{dT}{dx}=\frac{T_2-T_1}{L}.
O que cada símbolo significa:
  • \,T_1: temperatura na face x=0 (em ^\circ\mathrm{C}).
  • \,T_2: temperatura na face x=L (em ^\circ\mathrm{C}).
  • \,L: espessura do material (em \mathrm{m}).
  • \,dT/dx: gradiente térmico (variação de temperatura por unidade de comprimento, em \mathrm{K/m}).
    Observação sobre sinais: se \,dT/dx for negativo, a temperatura diminui quando x aumenta (isto é, T_2<T_1); se for positivo, a temperatura aumenta com x.

Passo 3

Como usar a fórmula para encontrar os desconhecidos (manipulação algébrica): a equação acima pode ser rearranjada conforme o que estiver faltando:
Se T_1 e T_2 são conhecidos, calcule
\frac{dT}{dx}=\frac{T_2-T_1}{L}.
Se T_1 e \dfrac{dT}{dx} são conhecidos, calcule
T_2 = T_1 + \left(\frac{dT}{dx}\right)L.
Se T_2 e \dfrac{dT}{dx} são conhecidos, calcule
T_1 = T_2 - \left(\frac{dT}{dx}\right)L.
Vou aplicar essas fórmulas caso a caso, mostrando as contas passo a passo (sem pular etapas).

Passo 4

Caso 1 (dados: \,T_1=50^\circ\mathrm{C}, \,T_2=-20^\circ\mathrm{C}). Usamos
\frac{dT}{dx}=\frac{T_2-T_1}{L}=\frac{-20-50}{0{,}25}.
Calcule o numerador: -20-50=-70. Agora divida por L:
\frac{dT}{dx}=\frac{-70}{0{,}25}=-280\\ \mathrm{K/m}.
Interpretação rápida: a temperatura cai 280 K para cada metro na direção de x.

Passo 5

Caso 2 (dados: \,T_1=-30^\circ\mathrm{C}, \,T_2=-10^\circ\mathrm{C}). Usamos
\frac{dT}{dx}=\frac{-10-(-30)}{0{,}25}=\frac{-10+30}{0{,}25}=\frac{20}{0{,}25}.
Divisão: 20/0{,}25=80. Logo
\frac{dT}{dx}=80\\ \mathrm{K/m}.
Interpretação: a temperatura aumenta 80 K por metro ao avançar em x.

Passo 6

Caso 3 (dados: \,T_1=70^\circ\mathrm{C}, \,dT/dx=160\\ \mathrm{K/m}; falta T_2). Usamos
T_2 = T_1 + \left(\frac{dT}{dx}\right)L = 70 + 160\cdot 0{,}25.
Calcule o produto: 160\cdot 0{,}25 = 40. Assim
T_2 = 70 + 40 = 110^\circ\mathrm{C}.

Passo 7

Caso 4 (dados: \,T_2=40^\circ\mathrm{C}, \,dT/dx=-80\\ \mathrm{K/m}; falta T_1). Usamos
T_1 = T_2 - \left(\frac{dT}{dx}\right)L = 40 - (-80)\cdot 0{,}25.
Calcule o produto: (-80)\cdot 0{,}25 = -20. Então
T_1 = 40 - (-20) = 40 + 20 = 60^\circ\mathrm{C}.

Passo 8

Caso 5 (dados: \,T_2=30^\circ\mathrm{C}, \,dT/dx=200\\ \mathrm{K/m}; falta T_1). Usamos
T_1 = T_2 - \left(\frac{dT}{dx}\right)L = 30 - 200\cdot 0{,}25.
Calcule o produto: 200\cdot 0{,}25 = 50. Então
T_1 = 30 - 50 = -20^\circ\mathrm{C}.

Resposta

Case 1: T_1=50^\circ\mathrm{C},\\ T_2=-20^\circ\mathrm{C},\\ \dfrac{dT}{dx}=-280\\ \mathrm{K/m}
Case 2: T_1=-30^\circ\mathrm{C},\\ T_2=-10^\circ\mathrm{C},\\ \dfrac{dT}{dx}=80\\ \mathrm{K/m}
Case 3: T_1=70^\circ\mathrm{C},\\ T_2=110^\circ\mathrm{C},\\ \dfrac{dT}{dx}=160\\ \mathrm{K/m}
Case 4: T_1=60^\circ\mathrm{C},\\ T_2=40^\circ\mathrm{C},\\ \dfrac{dT}{dx}=-80\\ \mathrm{K/m}
Case 5: T_1=-20^\circ\mathrm{C},\\ T_2=30^\circ\mathrm{C},\\ \dfrac{dT}{dx}=200\\ \mathrm{K/m}

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