Verifique se os campos de velocidade dados abaixo são irrotacionais e solenoidais. Se o campo de velocidade for irrotacional, determine a função potencial de velocidade. Se o campo de velocidade for solenoidal, determine a função de fluxo.
V=a x^2 i+b x z j+c y k

Passo 1

Beleza, a questão pede pra gente olhar o campo de velocidade
vec V = a,x^2,hatimath + b,x,z,hatjmath + c,y,hat k
e verificar duas coisas:
  1. se ele é irrotacional (ou seja, se o rotor ∇×V vale zero);
  2. se ele é solenoidal (ou seja, se a divergência ∇·V vale zero).
Se for irrotacional, a gente acha a função potencial φ tal que .
Se for solenoidal, a gente acha a função de fluxo (no caso 3D, um vetor potencial A tal que ).
O que vamos usar:
  • definição de divergência: .
  • definição de rotor: via determinante.
  • para potencial escalar φ: integrar cada componente de V.
  • para potencial vetor A (fluxo): resolver .

Passo 2

Calcular a divergência:
nabla!cdot!vec V = partialpartial x(a,x^2) + partialpartial y(b,x,z) + partialpartial z(c,y) = 2a,x + 0 + 0 = 2a,x
Logo, ∇·V = 0 acontece somente se a = 0. Portanto:
  • se a≠0, o campo não é solenoidal;
  • se a=0, ele é solenoidal.

Passo 3

Calcular o rotor:
nablatimesvec V = hatimath & hatjmath & hat k partialx & partialy & partialz a,x^2 & b,x,z & c,y
Desenvolvendo:
  • Componente x: nablatimesvec V = (,c - b,x,),hatimath ;+;0;hatjmath;+;(b,z),hat k .
  • Componente y: .
  • Componente z: .
Logo
Para ter rotor zero (irrotacional) precisamos de
c − b x = 0 para todo x ⇒ b = 0 e c = 0.

Passo 4

Caso irrotacional (b = 0 e c = 0), o campo vira
vec V = a,x^2,hatimath
Procuramos φ tal que
phi(x,y,z) = integral a,x^2,dx = tfraca,x^33 + f(y,z)
Integramos em x:
boxedphi = a,x^33
Como ∂φ/∂y=0⇒f_y=0 e ∂φ/∂z=0⇒f_z=0, concluímos f=const.
Podemos tomar a constante zero, então

Passo 5

Caso solenoidal (a = 0), o campo vira
vec V = b,x,z,hatjmath + c,y,hat k
Em 3D, para todo campo com ∇·V=0 existe um vetor potencial A tal que (nablatimes A)y = partialx Az - partialz Ax = b,x,z, (nablatimes A)z = partialx Ay - partialy Ax = c,y, (nablatimes A)x = partialy Az - partialz Ay = 0, .
Escolhemos uma forma simples:
A = (A_x, A_y, A_z) com A_x=0.
Então das equações
Ay = c,x,y, Az = -tfracb2,x^2,z,
podemos tomar
e A_x=0. Dá pra checar fácil que .

Resposta

  • O campo é irrotacional ⇔ b=0 e c=0. Nesse caso
  • O campo é solenoidal ⇔ a=0. Nesse caso um potencial de fluxo (vetor) é
    ,
    pois .

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