Verifique se os campos de velocidade dados abaixo são irrotacionais e solenoidais. Se o campo de velocidade for irrotacional, determine a função potencial de velocidade. Se o campo de velocidade for solenoidal, determine a função de fluxo.
Passo 1
Beleza, a questão pede pra gente olhar o campo de velocidade
e verificar duas coisas:
se ele é irrotacional (ou seja, se o rotor ∇×V vale zero);
se ele é solenoidal (ou seja, se a divergência ∇·V vale zero).
Se for irrotacional, a gente acha a função potencial φ tal que .
Se for solenoidal, a gente acha a função de fluxo (no caso 3D, um vetor potencial A tal que ).
O que vamos usar:
definição de divergência: .
definição de rotor: via determinante.
para potencial escalar φ: integrar cada componente de V.
para potencial vetor A (fluxo): resolver .
Passo 2
Calcular a divergência:
Logo, ∇·V = 0 acontece somente se a = 0. Portanto:
se a≠0, o campo não é solenoidal;
se a=0, ele é solenoidal.
Passo 3
Calcular o rotor:
Desenvolvendo:
Componente x: nablatimesvec V = (,c - b,x,),hatimath ;+;0;hatjmath;+;(b,z),hat k .
Componente y: .
Componente z: .
Logo
Para ter rotor zero (irrotacional) precisamos de
c − b x = 0 para todo x ⇒ b = 0 e c = 0.
Passo 4
Caso irrotacional (b = 0 e c = 0), o campo vira
vec V = a,x^2,hatimath
Procuramos φ tal que phi(x,y,z) = integral a,x^2,dx = tfraca,x^33 + f(y,z)
Integramos em x:
boxedphi = a,x^33
Como ∂φ/∂y=0⇒f_y=0 e ∂φ/∂z=0⇒f_z=0, concluímos f=const.
Podemos tomar a constante zero, então
Passo 5
Caso solenoidal (a = 0), o campo vira
vec V = b,x,z,hatjmath + c,y,hat k
Em 3D, para todo campo com ∇·V=0 existe um vetor potencial A tal que (nablatimes A)y = partialx Az - partialz Ax = b,x,z, (nablatimes A)z = partialx Ay - partialy Ax = c,y, (nablatimes A)x = partialy Az - partialz Ay = 0, .
Escolhemos uma forma simples:
A = (A_x, A_y, A_z) com A_x=0.
Então das equações
Ay = c,x,y, Az = -tfracb2,x^2,z,
podemos tomar
e A_x=0. Dá pra checar fácil que .
Resposta
O campo é irrotacional ⇔ b=0 e c=0. Nesse caso
O campo é solenoidal ⇔ a=0. Nesse caso um potencial de fluxo (vetor) é ,
pois .