Partindo da Equação Geral de Transferência de Massa, deduza a equação do fluxo mássico para o caso de Difusão Equimolar, aplicando as considerações cabíveis.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que temos à mão.
  • Pedido: deduzir a equação do fluxo mássico para o caso de Difusão Equimolar (ou seja, obter uma expressão do fluxo de massa de uma espécie em função do gradiente de composição, sob as hipóteses cabíveis).
  • Informações/hipóteses que vou assumir (são as usuais nesse tipo de dedução; se alguma não valesse, o resultado muda):
    • mistura binária (duas espécies, A e B);
    • regime estacionário (sem dependência temporal);
    • uma dimensão espacial relevante ( z) — 1D;
    • sem reação química;
    • difusão descrita por Fick (coeficiente de difusão binário D_{AB});
    • difusão equimolar (contra-difusão equimolar): os fluxos molares são opostos, isto é \;N_A + N_B = 0;
    • definições: N_i = fluxo molar da espécie i (mol·m{-2}·s{-1}); j_i = fluxo mássico da espécie i (kg·m{-2}·s{-1}); x_i = fração molar; Y_i = fração mássica; c = concentração molar total (mol·m^{-3}); \rho = densidade da mistura (kg·m^{-3}); M_i = massa molar da espécie i (kg·mol^{-1}); \overline{M} = massa molar média da mistura (kg·mol^{-1}), \overline{M}=x_A M_A + x_B M_B.
  • Observação importante: vou deduzir primeiro a expressão do fluxo molar de A e então converter para fluxo mássico, mostrando todas as relações entre x_A e Y_A.

Passo 2

Equação geral de conservação de espécie e decomposição do fluxo.
  • A forma geral (conservação molar da espécie i) é
\frac{\partial c_i}{\partial t} + \nabla\cdot \mathbf{N}_i = r_i,
onde \mathbf{N}_i é o fluxo molar total da espécie i (mol·m{-2}·s{-1}) e r_i termo de geração por reação (mol·m{-3}·s{-1}).
  • Para o caso estacionário ( \partial c_i/\partial t=0) e sem reação ( r_i=0), temos
\nabla\cdot \mathbf{N}_i = 0.
  • Em termos de contribuições convectiva e difusiva, o fluxo molar total é escrito como
\mathbf{N}_i = c_i \mathbf{v} + \mathbf{J}_i,
onde \mathbf{v} é a velocidade molar média da mistura (molar average velocity) e \mathbf{J}_i é o fluxo difusivo relativo (Fickiano). Para mistura binária, a velocidade molar média satisfaz \;c\mathbf{v}=\mathbf{N}_A+\mathbf{N}_B.
  • Pela lei de Fick (forma binária simples), o fluxo difusivo de A é
\mathbf{J}_A = -\,c\,D_{AB}\,\nabla x_A,
onde D_{AB} é o coeficiente de difusão binário (assumido constante aqui) e c é a concentração total molar.

Passo 3

Aplicar a condição de Difusão Equimolar e simplificar.
  • Difusão equimolar significa que os fluxos molares são opostos:
N_A + N_B = 0.
  • Portanto a velocidade molar média é nula:
\mathbf{v}=\frac{N_A+N_B}{c}=0.
  • Com \mathbf{v}=0 o termo convectivo desaparece e o fluxo molar total iguala o fluxo difusivo:
\mathbf{N}_A = \mathbf{J}_A = -\,c\,D_{AB}\,\nabla x_A.
  • Em 1D ao longo de z essa relação fica em forma escalar:
N_A(z) = -\,c\,D_{AB}\,\frac{d x_A}{dz}.

Passo 4

Converter fluxo molar em fluxo mássico: definições e relações entre x_A, Y_A e \overline{M}.
  • Fluxo mássico da espécie A é
j_A = M_A\,N_A,
pois multiplicando o fluxo molar (mol·m{-2}·s{-1}) pela massa molar M_A (kg·mol^{-1}) obtemos kg·m{-2}·s{-1}.
  • Relação entre fração molar e fração mássica para mistura binária:
Y_A = \frac{M_A x_A}{\overline{M}},\qquad \overline{M}=x_A M_A + x_B M_B.
  • Queremos expressar \dfrac{d x_A}{dz} em função de \dfrac{d Y_A}{dz}. Diferenciando Y_A=\dfrac{M_A x_A}{\overline{M}} e lembrando que \overline{M}=M_B + x_A(M_A-M_B) (pois x_B=1-x_A), obtemos:
\frac{d\overline{M}}{dz}=(M_A-M_B)\frac{d x_A}{dz}.
  • Diferenciando Y_A:
\frac{d Y_A}{dz}=\frac{M_A}{\overline{M}}\frac{d x_A}{dz}-\frac{M_A x_A}{\overline{M}^2}\frac{d\overline{M}}{dz}.
  • Substituindo \dfrac{d\overline{M}}{dz}:
\frac{d Y_A}{dz}=\frac{M_A}{\overline{M}}\frac{d x_A}{dz}-\frac{M_A x_A}{\overline{M}^2}(M_A-M_B)\frac{d x_A}{dz}.
  • Agrupando \dfrac{d x_A}{dz}:
\frac{d Y_A}{dz}=\frac{M_A}{\overline{M}^2}\big(\overline{M}-x_A(M_A-M_B)\big)\frac{d x_A}{dz}.
  • Note que \overline{M}-x_A(M_A-M_B)=M_B (basta substituir \overline{M}=M_B+x_A(M_A-M_B)). Logo
\frac{d Y_A}{dz}=\frac{M_A M_B}{\overline{M}^2}\,\frac{d x_A}{dz}.
  • Isolando \dfrac{d x_A}{dz}:
\frac{d x_A}{dz}=\frac{\overline{M}^2}{M_A M_B}\,\frac{d Y_A}{dz}.

Passo 5

Substituir na expressão do fluxo molar e obter o fluxo mássico em função de \dfrac{dY_A}{dz}.
  • Começamos com N_A = -c D_{AB}\dfrac{d x_A}{dz}.
  • Multiplicando por M_A para obter j_A:
j_A = M_A N_A = -M_A c D_{AB}\frac{d x_A}{dz}.
  • Usamos a identidade que relaciona concentração molar total c com densidade e massa molar média:
c=\frac{\rho}{\overline{M}}.
  • Substituindo c e \dfrac{d x_A}{dz} pela expressão obtida no passo anterior:
j_A = -M_A \left(\frac{\rho}{\overline{M}}\right) D_{AB} \left(\frac{\overline{M}^2}{M_A M_B}\frac{d Y_A}{dz}\right).
  • Simplificando termos (note que um M_A cancela):
j_A = -\rho\, D_{AB}\,\frac{\overline{M}}{M_B}\,\frac{d Y_A}{dz}.

Passo 6

Interpretação, casos particulares e pontos de atenção.
  • Resultado obtido:
j_A = -\rho\, D_{AB}\,\frac{\overline{M}}{M_B}\,\frac{d Y_A}{dz}.
  • Observações:
    • \overline{M} depende da composição ( x_A), logo o fator \dfrac{\overline{M}}{M_B} pode variar no campo. Em muitos problemas práticos toma-se aproximação de \overline{M} aproximadamente constante (ou M_A\approx M_B), o que simplifica a expressão.
    • Caso particular M_A=M_B (mesma massa molar das duas espécies): \overline{M}=M_A e o fator \dfrac{\overline{M}}{M_B}=1, reduzindo a expressão para a forma familiar
    j_A = -\rho\, D_{AB}\,\frac{d Y_A}{dz}.
    • Outra forma útil, sem converter para massa, é manter o fluxo molar:
    N_A = -c\,D_{AB}\,\frac{d x_A}{dz},e então j_A=M_A N_A se for necessário.
  • Resumo das hipóteses que fizeram a dedução funcionar: binário, estacionário, 1D, sem reação, lei de Fick válida, condição equimolar ( N_A+N_B=0).

Resposta

j_A = -\rho\, D_{AB}\,\frac{\overline{M}}{M_B}\,\frac{d Y_A}{dz}

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