Partindo da Equação Geral de Transferência de Massa, deduza a equação do fluxo mássico para o caso de Difusão Equimolar, aplicando as considerações cabíveis.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que temos à mão.
Pedido: deduzir a equação do fluxo mássico para o caso de Difusão Equimolar (ou seja, obter uma expressão do fluxo de massa de uma espécie em função do gradiente de composição, sob as hipóteses cabíveis).
Informações/hipóteses que vou assumir (são as usuais nesse tipo de dedução; se alguma não valesse, o resultado muda):
mistura binária (duas espécies, A e B);
regime estacionário (sem dependência temporal);
uma dimensão espacial relevante (z) — 1D;
sem reação química;
difusão descrita por Fick (coeficiente de difusão binário D_{AB});
difusão equimolar (contra-difusão equimolar): os fluxos molares são opostos, isto é \;N_A + N_B = 0;
definições: N_i = fluxo molar da espécie i (mol·m{-2}·s{-1}); j_i = fluxo mássico da espécie i (kg·m{-2}·s{-1}); x_i = fração molar; Y_i = fração mássica; c = concentração molar total (mol·m^{-3}); \rho = densidade da mistura (kg·m^{-3}); M_i = massa molar da espécie i (kg·mol^{-1}); \overline{M} = massa molar média da mistura (kg·mol^{-1}), \overline{M}=x_A M_A + x_B M_B.
Observação importante: vou deduzir primeiro a expressão do fluxo molar de A e então converter para fluxo mássico, mostrando todas as relações entre x_A e Y_A.
Passo 2
Equação geral de conservação de espécie e decomposição do fluxo.
onde \mathbf{N}_i é o fluxo molar total da espécie i (mol·m{-2}·s{-1}) e r_i termo de geração por reação (mol·m{-3}·s{-1}).
Para o caso estacionário (\partial c_i/\partial t=0) e sem reação (r_i=0), temos
\nabla\cdot \mathbf{N}_i = 0.
Em termos de contribuições convectiva e difusiva, o fluxo molar total é escrito como
\mathbf{N}_i = c_i \mathbf{v} + \mathbf{J}_i,
onde \mathbf{v} é a velocidade molar média da mistura (molar average velocity) e \mathbf{J}_i é o fluxo difusivo relativo (Fickiano). Para mistura binária, a velocidade molar média satisfaz \;c\mathbf{v}=\mathbf{N}_A+\mathbf{N}_B.
Pela lei de Fick (forma binária simples), o fluxo difusivo de A é
\mathbf{J}_A = -\,c\,D_{AB}\,\nabla x_A,
onde D_{AB} é o coeficiente de difusão binário (assumido constante aqui) e c é a concentração total molar.
Passo 3
Aplicar a condição de Difusão Equimolar e simplificar.
Difusão equimolar significa que os fluxos molares são opostos:
N_A + N_B = 0.
Portanto a velocidade molar média é nula:
\mathbf{v}=\frac{N_A+N_B}{c}=0.
Com \mathbf{v}=0 o termo convectivo desaparece e o fluxo molar total iguala o fluxo difusivo:
\overline{M} depende da composição (x_A), logo o fator \dfrac{\overline{M}}{M_B} pode variar no campo. Em muitos problemas práticos toma-se aproximação de \overline{M} aproximadamente constante (ou M_A\approx M_B), o que simplifica a expressão.
Caso particular M_A=M_B (mesma massa molar das duas espécies): \overline{M}=M_A e o fator \dfrac{\overline{M}}{M_B}=1, reduzindo a expressão para a forma familiar
j_A = -\rho\, D_{AB}\,\frac{d Y_A}{dz}.
Outra forma útil, sem converter para massa, é manter o fluxo molar:
N_A = -c\,D_{AB}\,\frac{d x_A}{dz},e então j_A=M_A N_A se for necessário.
Resumo das hipóteses que fizeram a dedução funcionar: binário, estacionário, 1D, sem reação, lei de Fick válida, condição equimolar (N_A+N_B=0).