Partindo do instante t0=0, um disco gira com velocidade angular omega(t)=pi t. Um móvel inicialmente na posição (x(0), y(0))=(1,0) se desloca radialmente segundo a lei r(t)=e^-t.
Qual o valor dessa componente da velocidade para t infty ?
Dica: em coordenadas polares, a componente de interesse da posição desse móvel é x(r, theta)=r cos theta.

Passo 1

Beleza! Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um disco que está girando com velocidade angular que aumenta com o tempo, especificamente omega(t) = pi t. Além disso, há um objeto que começa na posição (1, 0) e se move radialmente de acordo com a lei r(t) = e^-t. A pergunta é: qual é o valor da componente da velocidade desse objeto na direção x quando o tempo tende ao infinito?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática em coordenadas polares, que nos ajudam a descrever o movimento de objetos que estão se movendo em círculos ou em trajetórias curvas. Vamos seguir passo a passo para entender como chegar à resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a posição do objeto em coordenadas polares. A posição em coordenadas polares é dada por (r(t), theta(t)), onde r(t) é a distância do objeto ao centro e theta(t) é o ângulo em relação ao eixo x.
Dado que r(t) = e^-t, sabemos que a distância do objeto ao centro está diminuindo exponencialmente com o tempo. Agora, precisamos determinar como o ângulo theta(t) varia com o tempo.

Passo 3

A velocidade angular omega(t) é a taxa de variação do ângulo em relação ao tempo. Sabemos que:
omega(t) = dtheta(t)dt = pi t
Para encontrar theta(t), vamos integrar omega(t) em relação ao tempo:
theta(t) = integral omega(t) , dt = integral pi t , dt = pi2 t^2 + C
Como no instante inicial t0 = 0, temos theta(0) = 0, isso nos permite encontrar a constante de integração C = 0. Portanto:
theta(t) = pi2 t^2

Passo 4

Agora que temos r(t) e theta(t), podemos expressar a posição do objeto na direção x usando a relação dada na dica:
x(t) = r(t) cos(theta(t)) = e^-t cos(pi2 t^2)
Para encontrar a componente da velocidade na direção x, precisamos derivar x(t) em relação ao tempo:
vx(t) = dx(t)dt
Vamos calcular essa derivada passo a passo.

Passo 5

Aplicando a regra do produto para derivar x(t) = e^-t cos(pi2 t^2):
vx(t) = ddt(e^-t) cdot cos(pi2 t^2) + e^-t cdot ddt[cos(pi2 t^2)]
Calculando cada parte:
  1. Derivada de e^-t:
ddt(e^-t) = -e^-t
  1. Derivada de cos(pi2 t^2):
    Usando a regra da cadeia:
ddt[cos(pi2 t^2)] = -sin(pi2 t^2) cdot pi2 cdot 2t = -pi t sin(pi2 t^2)
Substituindo de volta na expressão de vx(t):
vx(t) = -e^-t cos(pi2 t^2) + e^-t (-pi t sin(pi2 t^2))
Simplificando:
vx(t) = -e^-t cos(pi2 t^2) - pi t e^-t sin(pi2 t^2)

Passo 6

Agora, queremos encontrar o limite dessa expressão quando t tende ao infinito:
limt to infty vx(t) = limt to infty [-e^-t cos(pi2 t^2) - pi t e^-t sin(pi2 t^2)]
Vamos analisar cada termo separadamente:
  1. -e^-t cos(pi2 t^2):
    • e^-t tende a 0 quando t to infty.
    • cos(pi2 t^2) está sempre entre -1 e 1.
    • Portanto, todo o termo tende a 0.
  2. -pi t e^-t sin(pi2 t^2):
    • t e^-t também tende a 0 quando t to infty, já que a função exponencial decai mais rápido que o crescimento linear de t.
    • sin(pi2 t^2) está sempre entre -1 e 1.
    • Portanto, este termo também tende a 0.

Resposta

Assim, o valor da componente da velocidade na direção x para t infty é 0.

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