Partindo do instante
, um disco gira com velocidade angular
. Um móvel inicialmente na posição
se desloca radialmente segundo a lei
.
Qual o valor dessa componente da velocidade para
?
Dica: em coordenadas polares, a componente de interesse da posição desse móvel é
.
Qual o valor dessa componente da velocidade para
Dica: em coordenadas polares, a componente de interesse da posição desse móvel é
Passo 1
Beleza! Vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos um disco que está girando com velocidade angular que aumenta com o tempo, especificamente
. Além disso, há um objeto que começa na posição
e se move radialmente de acordo com a lei
. A pergunta é: qual é o valor da componente da velocidade desse objeto na direção x quando o tempo tende ao infinito?
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática em coordenadas polares, que nos ajudam a descrever o movimento de objetos que estão se movendo em círculos ou em trajetórias curvas. Vamos seguir passo a passo para entender como chegar à resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a posição do objeto em coordenadas polares. A posição em coordenadas polares é dada por
, onde
é a distância do objeto ao centro e
é o ângulo em relação ao eixo x.
Dado que
, sabemos que a distância do objeto ao centro está diminuindo exponencialmente com o tempo. Agora, precisamos determinar como o ângulo
varia com o tempo.
Passo 3
A velocidade angular
é a taxa de variação do ângulo em relação ao tempo. Sabemos que:
Para encontrar
, vamos integrar
em relação ao tempo:
Como no instante inicial
, temos
, isso nos permite encontrar a constante de integração
. Portanto:
Passo 4
Agora que temos
e
, podemos expressar a posição do objeto na direção x usando a relação dada na dica:
Para encontrar a componente da velocidade na direção x, precisamos derivar
em relação ao tempo:
Vamos calcular essa derivada passo a passo.
Passo 5
Aplicando a regra do produto para derivar
:
Calculando cada parte:
- Derivada de
:
- Derivada de
:
Usando a regra da cadeia:
Substituindo de volta na expressão de
:
Simplificando:
Passo 6
Agora, queremos encontrar o limite dessa expressão quando
tende ao infinito:
Vamos analisar cada termo separadamente:
-
: -
tende a 0 quando . -
está sempre entre -1 e 1. - Portanto, todo o termo tende a 0.
-
-
: -
também tende a 0 quando , já que a função exponencial decai mais rápido que o crescimento linear de . -
está sempre entre -1 e 1. - Portanto, este termo também tende a 0.
-
Resposta
Assim, o valor da componente da velocidade na direção x para
é 0.