Sabendo que z=f(x, y)=x^2 sen y, x(t)=t^2+1 e y(t)= 1-t, calcule a derivada total d z / d t.

Passo 1

O enunciado quer a derivada total de z=f(x,y)=x^2 sen y onde x e y são funções de t: x(t)=t^2+1 e y(t)=1−t. O conteúdo é derivada total (regra da cadeia), e vamos precisar das derivadas parciais de f, além de dx/dt e dy/dt.

Passo 2

Começo encontrando as derivadas parciais de f(x,y)=x^2 sen y em relação a x e a y:
partial fpartial x=2xsin y e partial fpartial y=x^2cos y.

Passo 3

Depois calculo as derivadas de x(t) e y(t):
dxdt=2t e dydt=-1.

Passo 4

Aplico agora a regra da cadeia para derivada total:
dzdt=partial fpartial xcdotdxdt+partial fpartial ycdotdydt

Passo 5

Finalmente, substituo as derivadas parciais e x(t), y(t):
dzdt=l(2xsin yr)cdot(2t)+l(x^2cos yr)cdot(-1)

Passo 6

E por fim, trocando x por t^2+1 e y por 1−t:
dzdt=4t(t^2+1)sin(1-t)-(t^2+1)^2cos(1-t)

Resposta

dzdt=4t(t^2+1)sin(1-t)-(t^2+1)^2cos(1-t)

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