Sabendo que
e
, calcule a derivada total
.
Passo 1
O enunciado quer a derivada total de z=f(x,y)=x^2 sen y onde x e y são funções de t: x(t)=t^2+1 e y(t)=1−t. O conteúdo é derivada total (regra da cadeia), e vamos precisar das derivadas parciais de f, além de dx/dt e dy/dt.
Passo 2
Começo encontrando as derivadas parciais de f(x,y)=x^2 sen y em relação a x e a y:
e
.
Passo 3
Depois calculo as derivadas de x(t) e y(t):
e
.
Passo 4
Aplico agora a regra da cadeia para derivada total:
Passo 5
Finalmente, substituo as derivadas parciais e x(t), y(t):
Passo 6
E por fim, trocando x por t^2+1 e y por 1−t: