No sistema de aquecimento de uma torneira elétrica de cozinha foram encontrados dois resistores conectados entre si e que possibilitavam à torneira fornecer água morna e água quente, mediante um botão comutador. Os resistores possuíam o mesmo diâmetro e eram feitos do mesmo material. Esticaram-se os dois resistores para medir-Ihes o comprimento: 2,0 \mathrm{~m} para o primeiro e 3,5 \mathrm{~m} para o segundo. O resistor menor possuía uma resistência elétrica igual a 8,0 \Omega. Podemos concluir que a resistência elétrica do segundo era de?

Passo 1

O enunciado dá duas hastes-resistivas (resistores) feitas do mesmo material e com o mesmo diâmetro (logo mesma área da secção). Foram medidas as suas longitudes e uma resistência conhecida. Dados importantes que o enunciado fornece e o que pede:
  • Comprimento do primeiro resistor: L_1 = 2,0\\ \mathrm{m}.
  • Comprimento do segundo resistor: L_2 = 3,5\\ \mathrm{m}.
  • Resistência elétrica do primeiro resistor: R_1 = 8,0\\ \Omega.
  • Pergunta: qual é a resistência elétrica do segundo resistor R_2?

Passo 2

Conceito e fórmula que vamos usar (explicação didática): a resistência elétrica de um fio ou resistor homogêneo e uniforme é dada pela fórmula
R = \rho\,\frac{L}{A},
onde:
  • R é a resistência elétrica (em \Omega),
  • \rho é a resistividade do material (em \Omega\cdot\mathrm{m}), que depende do material,
  • L é o comprimento do fio (em \mathrm{m}),
  • A é a área da seção transversal do fio (em \mathrm{m}^2), que depende do diâmetro.
Intuição simples: se o material e a espessura do fio são os mesmos, aumentar o comprimento aumenta a resistência na mesma proporção.

Passo 3

Aplicando a fórmula aos dois resistores e usando que \rho e A são os mesmos (mesmo material e mesmo diâmetro), temos
R_1 = \rho\,\frac{L_1}{A},\qquad R_2 = \rho\,\frac{L_2}{A}.
Dividindo a segunda equação pela primeira para eliminar \rho e A, obtemos
\frac{R_2}{R_1}=\frac{L_2}{L_1}.
Logo a relação direta entre as resistências é
R_2 = R_1\cdot\frac{L_2}{L_1}.

Passo 4

Substituímos os valores dados:
  • R_1 = 8,0\\ \Omega,
  • L_1 = 2,0\\ \mathrm{m},
  • L_2 = 3,5\\ \mathrm{m}.
Calculemos a razão dos comprimentos:
\frac{L_2}{L_1}=\frac{3,5}{2,0}=1,75.
Uma maneira sem calculadora: 1,75=\tfrac{7}{4}. Então
R_2 = 8,0\cdot 1,75 = 8,0\cdot \frac{7}{4}.
Como 8,0\cdot\frac{1}{4}=2,0, temos 8,0\cdot\frac{7}{4}=2,0\cdot7=14,0.

Passo 5

Interpretação final e unidade: a resistência do segundo resistor é 14,0\\ \Omega. Isso faz sentido físico: como o segundo resistor é mais longo (3,5 m contra 2,0 m), sua resistência é maior na mesma proporção do comprimento.

Resposta

14,0\\ \Omega

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