A partir de um balanço integral, derive a expressão para espessura de deslocamento. Justifique e detalhe o procedimento realizado.
Passo 1
Beleza, então o exercício pede pra gente usar um balanço integral (no caso de massa) sobre a camada limite e, a partir daí, chegar na fórmula da espessura de deslocamento
Conteúdo: Teoria da camada limite (Prandtl) e Balanço integral de massa
O que vamos usar:
Conteúdo: Teoria da camada limite (Prandtl) e Balanço integral de massa
O que vamos usar:
- Equação da continuidade (conservação de massa)
- Definição de fluxo de massa em escoamento livre e dentro da camada limite
- Conceito de “espessura de deslocamento” como a altura que desloca a corrente principal
Passo 2
Antes de começar a derivar, vamos entender a ideia de espessura de deslocamento δ*
- Imagina um escoamento de velocidade U lá no “infinito” (fora da camada limite).
- Dentro da camada limite (0 ≤ y < ∞) a velocidade
varia de zero (na parede) até quase U (no “infinito”). - Isso gera um “déficit de massa”: a quantidade de fluido que passa por uma situação real (com camada limite) é menor do que se o fluido todo estivesse indo a U.
- δ* é justamente a altura imaginária que, se a gente subtraísse do escoamento uniforme U, compensaria esse déficit de massa.
Passo 3
Agora o balanço integral de massa. Vamos comparar dois fluxos de massa por unidade de largura (em z):
- Fluxo no escoamento ideal (sem camada limite):
- Fluxo real (com camada limite):
O “déficit” de massa por unidade de largura é
Passo 4
Por definição de δ*, esse déficit equivale a retirar uma faixa de altura δ* toda a U:
Logo, igualando as duas expressões:
A densidade ρ cancela dos dois lados, e tirando U de dentro do colchete:
Dividindo por U: