A partir de um balanço integral, derive a expressão para espessura de deslocamento. Justifique e detalhe o procedimento realizado.
de

Passo 1

Beleza, então o exercício pede pra gente usar um balanço integral (no caso de massa) sobre a camada limite e, a partir daí, chegar na fórmula da espessura de deslocamento
Conteúdo: Teoria da camada limite (Prandtl) e Balanço integral de massa
O que vamos usar:
  • Equação da continuidade (conservação de massa)
  • Definição de fluxo de massa em escoamento livre e dentro da camada limite
  • Conceito de “espessura de deslocamento” como a altura que desloca a corrente principal

Passo 2

Antes de começar a derivar, vamos entender a ideia de espessura de deslocamento δ*
  1. Imagina um escoamento de velocidade U lá no “infinito” (fora da camada limite).
  2. Dentro da camada limite (0 ≤ y < ∞) a velocidade u(y) varia de zero (na parede) até quase U (no “infinito”).
  3. Isso gera um “déficit de massa”: a quantidade de fluido que passa por uma situação real (com camada limite) é menor do que se o fluido todo estivesse indo a U.
  4. δ* é justamente a altura imaginária que, se a gente subtraísse do escoamento uniforme U, compensaria esse déficit de massa.

Passo 3

Agora o balanço integral de massa. Vamos comparar dois fluxos de massa por unidade de largura (em z):
  • Fluxo no escoamento ideal (sem camada limite): dot minfty = integral0^infty rho,U,dy = rho,Uintegral0^infty 1,dy(mas isso diver>=; na prática a >=nte compara diferenças)áç
    - Fluxo real (com camada limite):
    dot m = integral0^infty rho,u(y),dy
O “déficit” de massa por unidade de largura é
De

Passo 4

Por definição de δ*, esse déficit equivale a retirar uma faixa de altura δ* toda a U:
De
Logo, igualando as duas expressões:
rho,U,de
A densidade ρ cancela dos dois lados, e tirando U de dentro do colchete:
U,de
Dividindo por U:
de

Resposta

boxed de

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