Questão 10: Partindo das equações de conservação da massa e da quantidade de movimento linear e admitindo um escoamento incompressível, bidimensional e em regime permanente, obtenha as equações aproximadas para camada limite.
Passo 1
Beleza, o enunciado manda: “a partir das equações de conservação de massa e de quantidade de movimento, para um escoamento incompressível, bidimensional e permanente, derive as equações aproximadas da camada limite.” Isso é matéria de Mecânica dos Fluidos, mais especificamente Teoria da Camada Limite. Vamos precisar da equação de continuidade e das equações de Navier–Stokes bidimensionais em regime permanente, depois fazer uma análise de escalas (δ ≪ L) e descartar termos pequenos.
Passo 2
Escrevendo as equações gerais para escoamento 2D, incomp. e steady:
Continuidade
Continuidade
Momento em x
Momento em y
Passo 3
Agora a teoria de camada-limite diz que, perto de uma superfície, a espessura da camada δ é bem menor que o comprimento característico L do escoamento:
- Escalas:
. - Velocidades:
(bem menor que U). - Derivadas:
Com isso:- O termo viscoso
domina sobre porque . - Em y, os termos inerciais e viscosos são muito menores que a pressão, de modo que
fica quase zero.
- O termo viscoso
Passo 4
Com essas ordens de grandeza, a gente simplifica:
- No momento em y despreza-se tudo exceto
, logo - No momento em x mantém-se os termos advectivos e só o termo viscoso em y:
Passo 5
Juntando tudo, as equações de camada-limite são:
- Continuidade
- Momento em x (camada-limite)
- Momento em y reduzido
Resposta
As equações aproximadas da camada-limite para escoamento incompressível, bidimensional e permanente são: