Questão 10: Partindo das equações de conservação da massa e da quantidade de movimento linear e admitindo um escoamento incompressível, bidimensional e em regime permanente, obtenha as equações aproximadas para camada limite.

Passo 1

Beleza, o enunciado manda: “a partir das equações de conservação de massa e de quantidade de movimento, para um escoamento incompressível, bidimensional e permanente, derive as equações aproximadas da camada limite.” Isso é matéria de Mecânica dos Fluidos, mais especificamente Teoria da Camada Limite. Vamos precisar da equação de continuidade e das equações de Navier–Stokes bidimensionais em regime permanente, depois fazer uma análise de escalas (δ ≪ L) e descartar termos pequenos.

Passo 2

Escrevendo as equações gerais para escoamento 2D, incomp. e steady:
Continuidade
partial upartial x ;+;partial vpartial y ;=; 0
Momento em x
u,partial upartial x;+;v,partial upartial y ;=; -1rho,partial ppartial x ;+;nul(partial^2upartial x^2+partial^2upartial y^2r)
Momento em y
u,partial vpartial x;+;v,partial vpartial y ;=; -1rho,partial ppartial y ;+;nul(partial^2vpartial x^2+partial^2vpartial y^2r)

Passo 3

Agora a teoria de camada-limite diz que, perto de uma superfície, a espessura da camada δ é bem menor que o comprimento característico L do escoamento:
  • Escalas: xsim L,;ysim de.
  • Velocidades: usim U,;vsim Vsim U,de (bem menor que U).
  • Derivadas:
    nu,partial^2u/partial y^2simnu U/de
    Com isso:
    • O termo viscoso nu,partial^2u/partial x^2simnu U/L^2 domina sobre 1/de porque partial p/partial y.
    • Em y, os termos inerciais e viscosos são muito menores que a pressão, de modo que fica quase zero.

Passo 4

Com essas ordens de grandeza, a gente simplifica:
  1. No momento em y despreza-se tudo exceto -1rhopartial p/partial y, logo partial ppartial y=0 Rightarrow p(x,y)=pe(x) (pressão na borda) ã
  2. No momento em x mantém-se os termos advectivos e só o termo viscoso em y: u,partial upartial x + v,partial upartial y = -1rho,dpedx + nu,partial^2upartial y^2

Passo 5

Juntando tudo, as equações de camada-limite são:
  1. Continuidade partial upartial x + partial vpartial y=0
  2. Momento em x (camada-limite) u,partial upartial x + v,partial upartial y = -1rho,dpedx + nu,partial^2upartial y^2
  3. Momento em y reduzido partial ppartial y=0

Resposta

As equações aproximadas da camada-limite para escoamento incompressível, bidimensional e permanente são:
boxed &partial upartial x + partial vpartial y=0, &u,partial upartial x + v,partial upartial y = -1rho,dpedx + nu,partial^2upartial y^2, &partial ppartial y=0

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