Questão 12: A partir da informação que na região da C.L. partial P / partial y approx 0, demonstre como:
partial Ppartial x approx-U partial Upartial x

Passo 1

Beleza, aqui a ideia é na tal “região da camada-limite” (C.L.) a gente sabe que o gradiente de pressão na vertical é praticamente zero:
partial Ppartial yapprox 0
O que o exercício pede é mostrar que, sob essa hipótese,
partial Ppartial xapprox -,U,partial Upartial x
Conteúdo: mecânica dos fluidos – mais especificamente a equação de quantidade de movimento (Euler/Navier–Stokes) e o conceito de Bernoulli para fluxo invíscido. Vamos usar também a noção de que, se a pressão não varia com y, ela só depende de x e vale dentro e fora da camada-limite.

Passo 2

Como P(x,y);approx;Pe(x), , podemos dizer que
ou seja, a pressão em qualquer ponto da camada-limite é igual à pressão “externa” que só varia em . Logo, quando formos calcular dentro da camada, basta usar .

Passo 3

Na região externa (invíscida) vale a equação de Euler em regime estacionário para a direção rhol(U,partial Upartial x+V,partial Upartial yr) = -,partial Pepartial x :
rho,U,partial Upartial x = -,partial Pepartial x
Mas no escoamento externo e é constante. Então sobra

Passo 4

Bast a isolar partial Pepartial x = -,rho,U,partial Upartial x :
partial Pepartial x = -,U,partial Upartial x
Se escolhermos unidades em que (ou simplesmente dividirmos tudo por ), chega-se a
Como dentro da camada-limite é igual a , concluímos a demonstração.

Resposta

partial Ppartial xapprox -,U,partial Upartial x

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