A partir de um balanço integral, derive uma expressão para espessura de momento. Justifique e detalhe o procedimento realizado.
Passo 1
Então, o exercício pede para usarmos o balanço integral de momento na camada limite pra derivar a expressão da espessura de momento, que é
O conteúdo aqui é teoria de camada limite e balanço integral de momento. Vamos precisar:
- Definir um volume de controle cobrindo a camada limite sobre uma placa.
- Aplicar a equação de conservação (balanço) de momento na direção x.
- Fazer as aproximações da camada limite (p≈p∞, velocidade externa U constante, etc.).
- Identificar o termo que chamamos de “espessura de momento” θ.
Passo 2
Definindo o volume de controle
Imagine um trecho de placa paralelo ao escoamento incompressível 2D, com comprimento L em x, altura H muito maior que a espessura da camada limite δ, e profundidade unitária (1 em z).
No regime estacionário, o balanço de momento na direção x diz:
Fluxo de momento entrando − Fluxo de momento saindo + Forças de pressão + Força de cisalhamento na parede = 0.
Imagine um trecho de placa paralelo ao escoamento incompressível 2D, com comprimento L em x, altura H muito maior que a espessura da camada limite δ, e profundidade unitária (1 em z).
No regime estacionário, o balanço de momento na direção x diz:
Fluxo de momento entrando − Fluxo de momento saindo + Forças de pressão + Força de cisalhamento na parede = 0.
Escrevendo isso:
Mas como H≫δ, fora da camada u≈U e p≈p_\infty constante, as parcelas de pressão anulam entre entrada e saída e o fluxo de momento fora da camada é igual a
.
Passo 3
Escrevendo só a contribuição da camada limite (0≤y<δ):
Fatorando
:
Passo 4
Agora vem o truque de definir θ. A gente quer escrever esse integral num formato que fique proporcional à tensão de cisalhamento na parede. Introduzimos a espessura de momento θ tal que
Comparando com o integral acima, vemos que
Mas usando álgebra em
e ajustando constante, a forma convencional fica
onde estendemos o limite para ∞ porque fora da camada
e o integrando vai a zero.