A partir de uma base \overline{\mathrm{AB}}, definida por suas coordenadas retangulares \mathrm{X}_{\mathrm{A}}=1000,00 \mathrm{~m}, \mathrm{Y}_{\mathrm{A}}=2000,00 \mathrm{~m}, \mathrm{X}_{\mathrm{B}}=1172,21 \mathrm{me} \mathrm{Y}_{\mathrm{B}}=1729,69 \mathrm{~m}, foi levantado um ponto M , através do método da interseção direta, com as seguintes medidas angulares: \mathrm{R} \overline{\mathrm{AM}}=19^{\circ} 10^{\prime} \mathrm{SE} e \mathrm{R} \overline{\mathrm{BM}}=70^{\circ} 10^{\prime} \mathrm{SW}.
Solicita-se calcular:
a) as coordenadas retangulares do ponto M ;
b) a extensão do alinhamento \overline{\mathrm{BM}};
c) os rumos dos alinhamentos \overline{\mathrm{MB}}, \overline{\mathrm{MA}} \mathrm{e} \overline{\mathrm{BA}}.
7.

Passo 1

O enunciado dá a base \overline{AB} com
A=(X_A,Y_A)=(1000,00\,\mathrm m,\;2000,00\,\mathrm m),\quad B=(X_B,Y_B)=(1172,21\,\mathrm m,\;1729,69\,\mathrm m)
e os rumos quadrantes até M:
\mathrm{R}_{\overline{AM}}=19^\circ10'\,\mathrm{SE} (isto é, S19^\circ10'E) e
\mathrm{R}_{\overline{BM}}=70^\circ10'\,\mathrm{SW} (isto é, S70^\circ10'W).
Vamos converter esses rumos em azimutes, traçar as retas em forma paramétrica e encontrar a interseção.

Passo 2

Converter cada rumo em azimute medido no sentido horário a partir do norte e obter o vetor direção.
\alpha_1=\underbrace{180^\circ-19^\circ10'}_{160^\circ50'}\,,\quad \alpha_2=\underbrace{180^\circ+70^\circ10'}_{250^\circ10'}.
Em eixo X leste e Y norte, o vetor direção de A\to M é
d_1=(\sin\alpha_1,\;\cos\alpha_1)\approx(0,3282,\;-0,9446),
e o de B\to M é
d_2=(\sin\alpha_2,\;\cos\alpha_2)\approx(-0,9395,\;-0,3426).
A reta de A é (x,y)=(1000,00,2000,00)+t\,d_1 e a de B é (x,y)=(1172,21,1729,69)+u\,d_2. Para achar t,u montamos o sistema
1000+0,3282\,t=1172,21-0,9395\,u,
2000-0,9446\,t=1729,69-0,3426\,u.

Passo 3

Resolvendo o sistema
\begin{cases} 0,3282\,t+0,9395\,u=172,21,\\\\ -0,9446\,t+0,3426\,u=-270,31, \end{cases}
obtém-se numericamente
t\approx312,94,\quad u\approx74,00.
Logo as coordenadas de M são
X_M=1000,00+312,94\cdot0,3282\approx1102,67,
Y_M=2000,00+312,94\cdot(-0,9446)\approx1704,35.

Passo 4

A extensão do alinhamento \overline{BM} é
BM=\sqrt{(X_M-X_B)^2+(Y_M-Y_B)^2} \approx\sqrt{(-69,54)^2+(-25,34)^2}\approx74,00\\ \mathrm m.

Passo 5

Para os rumos quadrantes usamos as diferenças de coordenadas:
De M a B:
\Delta X=1172,21-1102,67=+69,54,
\Delta Y=1729,69-1704,35=+25,34 (NE),
\alpha=\arctan\frac{|\Delta X|}{|\Delta Y|} =\arctan\frac{69,54}{25,34}\approx70^\circ10',
logo \mathrm{R}_{\overline{MB}}=70^\circ10'\,\mathrm{NE}.
De M a A:
\Delta X=1000,00-1102,67=-102,67,
\Delta Y=2000,00-1704,35=+295,65 (NO),
\alpha=\arctan\frac{102,67}{295,65}\approx19^\circ10',
logo \mathrm{R}_{\overline{MA}}=19^\circ10'\,\mathrm{NW}.
De B a A:
\Delta X=1000,00-1172,21=-172,21,
\Delta Y=2000,00-1729,69=+270,31 (NO),
\alpha=\arctan\frac{172,21}{270,31}\approx32^\circ36',
logo \mathrm{R}_{\overline{BA}}=32^\circ36'\,\mathrm{NW}.

Resposta

a) M\approx(1102,67\,\mathrm m,\;1704,35\,\mathrm m).
b) BM\approx74,00\,\mathrm m.
c)
\mathrm{R}_{\overline{MB}}=70^\circ10'\,\mathrm{NE},
\mathrm{R}_{\overline{MA}}=19^\circ10'\,\mathrm{NW},
\mathrm{R}_{\overline{BA}}=32^\circ36'\,\mathrm{NW}.

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