Seja a função f(x, y)= \begin{cases}\frac{2 x y}{x^{2}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}
a) Verifique se f é contínua em (0,0).
b) É correto afirmar que as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) e \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) não são contínuas em (0,0) ?
e pede:
a) verificar a continuidade de f em (0,0);
b) comentar se as derivadas parciais \tfrac{\partial f}{\partial x} e \tfrac{\partial f}{\partial y} são, ou não, contínuas em (0,0).
Para (a) vamos usar a ideia de limite em diferentes trajetórias; para (b) precisamos calcular as derivadas (no ponto e fora dele) e ver se o valor de cada uma se aproxima do valor no ponto.
Passo 2
Usamos coordenadas polares (x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta) com r>0. Então, para (x,y)\neq(0,0),
que diverge quando x\to0. Logo esse limite não é 0: \frac{\partial f}{\partial x} não se aproxima do valor no ponto. O mesmo acontece com \tfrac{\partial f}{\partial y}.
Resposta
a) f não é contínua em (0,0).
b) Sim: as derivadas parciais existem em (0,0) e valem zero, mas não são contínuas em (0,0).