Seja a função f(x, y)= \begin{cases}\frac{2 x y}{x^{2}+y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0)\end{cases}
a) Verifique se f é contínua em (0,0).
b) É correto afirmar que as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x}(x, y) e \frac{\partial f}{\partial y}(x, y) não são contínuas em (0,0) ?

Passo 1

O enunciado define
f(x,y)= \begin{cases} \displaystyle \frac{2xy}{x^2+y^2},&\text{se }(x,y)\neq(0,0),\\\\ 0,&\text{se }(x,y)=(0,0), \end{cases}
e pede:
a) verificar a continuidade de f em (0,0);
b) comentar se as derivadas parciais \tfrac{\partial f}{\partial x} e \tfrac{\partial f}{\partial y} são, ou não, contínuas em (0,0).
Para (a) vamos usar a ideia de limite em diferentes trajetórias; para (b) precisamos calcular as derivadas (no ponto e fora dele) e ver se o valor de cada uma se aproxima do valor no ponto.

Passo 2

Usamos coordenadas polares (x,y)=(r\cos\theta,r\sin\theta) com r>0. Então, para (x,y)\neq(0,0),
f(r,\theta) =\frac{2\,(r\cos\theta)\,(r\sin\theta)}{r^2} =\frac{2r^2\cos\theta\sin\theta}{r^2} =2\cos\theta\sin\theta =\sin(2\theta).
Como esse valor independe de r e varia com \theta, ao aproximar (x,y)\to(0,0) o limite fica \sin(2\theta), que depende do ângulo de chegada.

Passo 3

Como o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) depende de \theta, ele não existe ou não é sempre igual a 0. Logo,
f não é contínua em (0,0).

Passo 4

Para encontrar as derivadas parciais longe da origem, aplicamos a regra do quociente:
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) =\frac{2y\,(x^2+y^2)-2xy\cdot 2x}{(x^2+y^2)^2} =\frac{2y\bigl(x^2+y^2-2x^2\bigr)}{(x^2+y^2)^2} =\frac{2y\,(y^2-x^2)}{(x^2+y^2)^2},
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y) =\frac{2x\,(x^2+y^2)-2xy\cdot 2y}{(x^2+y^2)^2} =\frac{2x\,(x^2+y^2-2y^2)}{(x^2+y^2)^2} =\frac{2x\,(x^2-y^2)}{(x^2+y^2)^2},
válidas para (x,y)\neq(0,0).

Passo 5

Pelo lado de fora, \tfrac{\partial f}{\partial x}(0,0) e \tfrac{\partial f}{\partial y}(0,0) vêm da definição:
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) =\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h} =\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h} =0, \quad \frac{\partial f}{\partial y}(0,0)=0.
Mas, para verificar continuidade de \tfrac{\partial f}{\partial x} em (0,0), aproximamos por uma reta y=m\,x ( m\neq0,\pm1):
\frac{\partial f}{\partial x}(x,mx) =\frac{2\,(mx)\bigl((mx)^2-x^2\bigr)}{\bigl(x^2+(mx)^2\bigr)^2} =\frac{2m(m^2-1)\,x^3}{\bigl(1+m^2\bigr)^2\,x^4} =\frac{2m(m^2-1)}{(1+m^2)^2}\,\frac1{x},
que diverge quando x\to0. Logo esse limite não é 0: \frac{\partial f}{\partial x} não se aproxima do valor no ponto. O mesmo acontece com \tfrac{\partial f}{\partial y}.

Resposta

a) f não é contínua em (0,0).
b) Sim: as derivadas parciais existem em (0,0) e valem zero, mas não são contínuas em (0,0).

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