Num caminhamento foram medidos os seguintes elementos topográficos: ângulos entre alinhamentos \mathrm{A} \widehat{\mathrm{B}} \mathrm{C}=321^{\circ} 00^{\prime}, \mathrm{B} \widehat{\mathrm{C}} \mathrm{D}=141^{\circ} 32^{\prime}, \mathrm{C} \widehat{\mathrm{DA}}=313^{\circ} 30^{\prime} e \mathrm{D} \widehat{\mathrm{AB}}=304^{\circ} 00^{\prime}; azimute magnético \mathrm{Az} \overline{\mathrm{AB}}=189^{\circ} 30^{\prime}; extensões dos alinhamentos \overline{\mathrm{AB}}=315,00 \mathrm{~m} ; \overline{\mathrm{BC}}=203,00 \mathrm{~m}; \overline{\mathrm{CD}}=82,00 \mathrm{me} \overline{\mathrm{DA}}=250,00 \mathrm{~m}. Solicita-se:
a) calcular os azimutes compensados, admitindo que o erro angular cometido é tolerável;.
b) calcular o valor do erro de fechamento linear total.

Passo 1

Temos um caminhamento fechado com quatro vértices A, B, C, D e retorno a A. Foram medidos:
  • Ângulos externos (entre prolongamento de um alinhamento e o seguinte)
    \displaystyle A\widehat B C=321^\circ00',
    \displaystyle B\widehat C D=141^\circ32',
    \displaystyle C\widehat D A=313^\circ30',
    \displaystyle D\widehat A B=304^\circ00'.
  • Azimute magnético inicial
    \displaystyle \Az \overline{AB}=189^\circ30'.
  • Comprimentos
    \displaystyle \overline{AB}=315{,}00\mathrm{\,m},
    \displaystyle \overline{BC}=203{,}00\mathrm{\,m},
    \displaystyle \overline{CD}=82{,}00\mathrm{\,m},
    \displaystyle \overline{DA}=250{,}00\mathrm{\,m}.
Pede-se a) ajustar (compensar) os ângulos e calcular os azimutes compensados de cada alinhamento e b) calcular o erro de fechamento linear total.

Passo 2

Verificamos o fecho angular:
\sum\text{ângulos observados} =321^\circ00' +141^\circ32' +313^\circ30' +304^\circ00' =1080^\circ02'.â
Como num fechamen-to completo de um polígono simples as somas dos ângulos externos deveriam totalizar exatamente 360^\circ\times1=360^\circ, mas aqui, por causa de traçado que dá três voltas, espera-se 360^\circ\times3=1080^\circ. O erro é
\Delta\theta =1080^\circ02' - 1080^\circ00' = 0^\circ02'.
Distribuímos igualmente esse erro pelas quatro estações, corrigindo cada ângulo em
\delta = -\frac{0^\circ02'}{4} = -0^\circ00'30''.
Os ângulos externos compensados são, subtraindo 0^\circ00'30'' de cada um:
\begin{aligned} A\widehat B C_{\rm comp} &=321^\circ00'00'' - 0^\circ00'30'' =320^\circ59'30'',\\\ B\widehat C D_{\rm comp} &=141^\circ32'00'' - 0^\circ00'30'' =141^\circ31'30'',\\\ C\widehat D A_{\rm comp} &=313^\circ30'00'' - 0^\circ00'30'' =313^\circ29'30'',\\\ D\widehat A B_{\rm comp} &=304^\circ00'00'' - 0^\circ00'30'' =303^\circ59'30''. \end{aligned}

Passo 3

Calculamos os azimutes compensados em sequência, usando a regra
\Az_{\rm next} =\Az_{\rm prev} +(\text{ângulo externo compensado}) -180^\circ,
normalizando para o intervalo 0^\circ 360^\circ.
  1. \Az_{AB}=189^\circ30'00'' (dado).
  2. \Az_{BC} =189^\circ30'00'' +320^\circ59'30'' -180^\circ00'00'' =330^\circ29'30''.
  3. \Az_{CD} =330^\circ29'30'' +141^\circ31'30'' -180^\circ00'00'' =292^\circ01'00''.
  4. \Az_{DA} =292^\circ01'00'' +313^\circ29'30'' -180^\circ00'00'' =425^\circ30'30''\;\bmod360 =65^\circ30'30''.

Passo 4

Para avaliar o fecho linear, calculamos as componentes leste ( \Delta E) e norte ( \Delta N) de cada alinhamento:
\Delta E = L\sin\Az,\quad \Delta N = L\cos\Az.
Usando azimutes compensados e comprimentos:
\Az_{AB}=189^\circ30', L_{AB}=315{,}00
\quad\Delta E_{AB}=315\,\sin189{,}5^\circ\approx -51{,}98,
\;\Delta N_{AB}=315\,\cos189{,}5^\circ\approx -310{,}66.
\Az_{BC}=330^\circ29'30'', L_{BC}=203{,}00
\quad\Delta E_{BC}=203\,\sin330{,}4917^\circ\approx -99{,}88,
\;\Delta N_{BC}=203\,\cos330{,}4917^\circ\approx 176{,}71.
\Az_{CD}=292^\circ01'00'', L_{CD}=82{,}00
\quad\Delta E_{CD}=82\,\sin292{,}0167^\circ\approx -75{,}86,
\;\Delta N_{CD}=82\,\cos292{,}0167^\circ\approx 31{,}11.
\Az_{DA}=65^\circ30'30'', L_{DA}=250{,}00
\quad\Delta E_{DA}=250\,\sin65{,}5083^\circ\approx 228{,}25,
\;\Delta N_{DA}=250\,\cos65{,}5083^\circ\approx 101{,}94.
Somando as componentes:
\sum\Delta E\approx -51{,}98 -99{,}88 -75{,}86 +228{,}25=0{,}53\mathrm{\,m},
\sum\Delta N\approx -310{,}66 +176{,}71 +31{,}11 +101{,}94=-0{,}90\mathrm{\,m}.

Passo 5

O erro de fechamento linear total é o comprimento do vetor de fecho:
\varepsilon =\sqrt{(\sum\Delta E)^2+(\sum\Delta N)^2} \approx\sqrt{0{,}53^2+(-0{,}90)^2} \approx1{,}05\mathrm{\,m}.

Resposta

(a) Azimutes compensados:
\Az_{AB}=189^\circ30'00'',
\Az_{BC}=330^\circ29'30'',
\Az_{CD}=292^\circ01'00'',
\Az_{DA}=65^\circ30'30''.
(b) Erro de fechamento linear total \approx1{,}05\mathrm{\,m}.

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