Construa a tábua da operação de composição sobre o conjunto de funções E=\left\{f_{1}, f_{2}, f_{3}, f_{4}\right\} de R^{2} em R^{2}, definidas por:
f_{1}(x, y)=(x, y) \quad f_{2}(x, y)=(-x, y) \quad f_{3}(x, y)=(x,-y) \quad f_{4}(x, y)=(-x,-y)

Passo 1

O enunciado pede para construir a tábua da operação de composição entre as funções f_{1},f_{2},f_{3},f_{4} do conjunto
E=\{f_{1},f_{2},f_{3},f_{4}\},
onde as funções são dadas por
f_{1}(x,y)=(x,y),\qquad f_{2}(x,y)=(-x,y),\qquad f_{3}(x,y)=(x,-y),\qquad f_{4}(x,y)=(-x,-y).
Vamos organizar a tábua de forma que a entrada na linha i e coluna j seja
f_{i}\circ f_{j},
ou seja, aplicar f_{j} primeiro e depois f_{i}. Não começo a calcular ainda; apenas defini claramente o pedido e os dados.

Passo 2

O que é composição de funções no contexto das funções de \mathbb{R}^{2} em \mathbb{R}^{2} e como calcular na prática.
Se f e g são funções \mathbb{R}^{2}\to\mathbb{R}^{2} com
g(x,y)=(g_{1}(x,y),g_{2}(x,y))\quad\text{e}\quad f(u,v)=(f_{1}(u,v),f_{2}(u,v)),
então a composição f\circ g é a função
(f\circ g)(x,y)=f\big(g(x,y)\big)=\big(f_{1}(g_{1}(x,y),g_{2}(x,y)),\;f_{2}(g_{1}(x,y),g_{2}(x,y))\big).
Na prática: aplicar g nas coordenadas (x,y) e depois aplicar f ao resultado, coordenada a coordenada. Vou usar isso para cada par (i,j).

Passo 3

Composições envolvendo f_{1} (identidade). Sempre que uma função é a identidade temos comportamento neutro:
Para qualquer j,
(f_{1}\circ f_{j})(x,y)=f_{1}\big(f_{j}(x,y)\big)=f_{j}(x,y),
pois f_{1}(u,v)=(u,v). Logo f_{1}\circ f_{j}=f_{j}.
Também
(f_{j}\circ f_{1})(x,y)=f_{j}\big(f_{1}(x,y)\big)=f_{j}(x,y),
logo f_{j}\circ f_{1}=f_{j}.
Isto garante a primeira linha e a primeira coluna da tábua: quando um dos fatores é f_{1} o resultado é o outro fator.

Passo 4

Calcular os quadrados f_{2}\circ f_{2}, f_{3}\circ f_{3} e f_{4}\circ f_{4}.
  • Para f_{2}:
(f_{2}\circ f_{2})(x,y)=f_{2}\big(f_{2}(x,y)\big)=f_{2}(-x,y)=(-(-x),y)=(x,y)=f_{1}(x,y).
Logo f_{2}\circ f_{2}=f_{1}.
  • Para f_{3}:
(f_{3}\circ f_{3})(x,y)=f_{3}\big(f_{3}(x,y)\big)=f_{3}(x,-y)=(x,-(-y))=(x,y)=f_{1}(x,y).
Logo f_{3}\circ f_{3}=f_{1}.
  • Para f_{4}:
(f_{4}\circ f_{4})(x,y)=f_{4}\big(f_{4}(x,y)\big)=f_{4}(-x,-y)=(-(-x),-(-y))=(x,y)=f_{1}(x,y).
Logo f_{4}\circ f_{4}=f_{1}.
Esses cálculos mostram que cada uma das reflexões aplicadas duas vezes dá a identidade.

Passo 5

Calcular f_{2}\circ f_{3} e f_{3}\circ f_{2}.
  • Primeiro f_{2}\circ f_{3}:
(f_{2}\circ f_{3})(x,y)=f_{2}\big(f_{3}(x,y)\big)=f_{2}(x,-y)=(-x,-y)=f_{4}(x,y).
Portanto f_{2}\circ f_{3}=f_{4}.
  • Agora f_{3}\circ f_{2}:
(f_{3}\circ f_{2})(x,y)=f_{3}\big(f_{2}(x,y)\big)=f_{3}(-x,y)=(-x,-y)=f_{4}(x,y).
Portanto f_{3}\circ f_{2}=f_{4}.
Observação: as duas composições dão o mesmo resultado; aqui já se nota que a operação é comutativa para esses elementos.

Passo 6

Calcular f_{2}\circ f_{4} e f_{4}\circ f_{2}.
  • f_{2}\circ f_{4}:
(f_{2}\circ f_{4})(x,y)=f_{2}\big(f_{4}(x,y)\big)=f_{2}(-x,-y)=(x,-y)=f_{3}(x,y).
Logo f_{2}\circ f_{4}=f_{3}.
  • f_{4}\circ f_{2}:
(f_{4}\circ f_{2})(x,y)=f_{4}\big(f_{2}(x,y)\big)=f_{4}(-x,y)=(x,-y)=f_{3}(x,y).
Logo f_{4}\circ f_{2}=f_{3}.

Passo 7

Calcular f_{3}\circ f_{4} e f_{4}\circ f_{3}.
  • f_{3}\circ f_{4}:
(f_{3}\circ f_{4})(x,y)=f_{3}\big(f_{4}(x,y)\big)=f_{3}(-x,-y)=(-x,y)=f_{2}(x,y).
Logo f_{3}\circ f_{4}=f_{2}.
  • f_{4}\circ f_{3}:
(f_{4}\circ f_{3})(x,y)=f_{4}\big(f_{3}(x,y)\big)=f_{4}(x,-y)=(-x,y)=f_{2}(x,y).
Logo f_{4}\circ f_{3}=f_{2}.

Passo 8

Juntando todos os resultados anteriores, montamos a tábua completa de composição, lembrando que a entrada na linha i e coluna j é f_{i}\circ f_{j}. Observações rápidas (úteis para a prova): a função f_{1} é identidade; cada uma de f_{2},f_{3},f_{4} é involutória (ou seja, sua própria inversa); as composições entre diferentes reflexões produzem a terceira reflexão ou a identidade conforme calculado — a operação é comutativa.

Resposta

\begin{array}{c|cccc} \circ & f_{1} & f_{2} & f_{3} & f_{4} \\\ \hline f_{1} & f_{1} & f_{2} & f_{3} & f_{4} \\\ f_{2} & f_{2} & f_{1} & f_{4} & f_{3} \\\ f_{3} & f_{3} & f_{4} & f_{1} & f_{2} \\\ f_{4} & f_{4} & f_{3} & f_{2} & f_{1} \end{array}

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