Construa a tábua da operação de composição sobre o conjunto de funções
de
em
, definidas por:
Passo 1
O enunciado pede para construir a tábua da operação de composição entre as funções
do conjunto
onde as funções são dadas por
Vamos organizar a tábua de forma que a entrada na linha
e coluna
seja
ou seja, aplicar
primeiro e depois
. Não começo a calcular ainda; apenas defini claramente o pedido e os dados.
Passo 2
O que é composição de funções no contexto das funções de
em
e como calcular na prática.
Se
e
são funções
com
então a composição
é a função
Na prática: aplicar
nas coordenadas
e depois aplicar
ao resultado, coordenada a coordenada. Vou usar isso para cada par
.
Passo 3
Composições envolvendo
(identidade). Sempre que uma função é a identidade temos comportamento neutro:
Para qualquer
,
pois
. Logo
.
Também
logo
.
Isto garante a primeira linha e a primeira coluna da tábua: quando um dos fatores é
o resultado é o outro fator.
Passo 4
Calcular os quadrados
,
e
.
- Para
:
Logo
.
- Para
:
Logo
.
- Para
:
Logo
.
Esses cálculos mostram que cada uma das reflexões aplicadas duas vezes dá a identidade.
Passo 5
Calcular
e
.
- Primeiro
:
Portanto
.
- Agora
:
Portanto
.
Observação: as duas composições dão o mesmo resultado; aqui já se nota que a operação é comutativa para esses elementos.
Passo 6
Calcular
e
.
-
:
Logo
.
-
:
Logo
.
Passo 7
Calcular
e
.
-
:
Logo
.
-
:
Logo
.
Passo 8
Juntando todos os resultados anteriores, montamos a tábua completa de composição, lembrando que a entrada na linha
e coluna
é
. Observações rápidas (úteis para a prova): a função
é identidade; cada uma de
é involutória (ou seja, sua própria inversa); as composições entre diferentes reflexões produzem a terceira reflexão ou a identidade conforme calculado — a operação é comutativa.