Descreva os seguintes subgrupos cíclicos: \langle\overline{2}\rangle \mathrm{em}\left(Z_{5}^{*}, \cdot\right).
Passo 1
O enunciado pede para descrever o subgrupo cíclico \langle\overline{2}\rangle no grupo \left(\mathbb{Z}_{5}^{*},\cdot\right).
Informações dadas (retiradas do enunciado):
O grupo em questão é \mathbb{Z}_{5}^{*}, o grupo multiplicativo das classes residuais invertíveis módulo 5.
Os elementos de \mathbb{Z}_{5}^{*} são \overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4}.
Precisamos encontrar o subgrupo gerado por \overline{2}, isto é, todos os poderes de \overline{2} sob a multiplicação módulo 5.
Passo 2
Definições e ideia do método (passo a passo didático):
Para um elemento a de um grupo, o subgrupo cíclico gerado por a é\langle a\rangle=\{a^{n}\mid n\in\mathbb{Z}\}.No grupo multiplicativo finito, basta calcular as potências positivas a^{1},a^{2},\dots até que apareça a^{k}=\overline{1}; então os elementos distintos obtidos antes de repetir formam \langle a\rangle.
A ordem de a é o menor inteiro positivo k tal que a^{k}=\overline{1}. Todos os elementos de \langle a\rangle são exatamente a^{0}=\overline{1},a^{1},\dots,a^{k-1}.
Aqui o produto e as potências são feitas módulo 5. A notação \overline{x} indica a classe de resto de x módulo 5.
Passo 3
Calcular as potências de \overline{2} módulo 5, uma a uma, mostrando as contas:
\overline{2}^{1}=\overline{2}.
\overline{2}^{2}=\overline{4}, pois 2\cdot 2=4 e 4\equiv 4\pmod{5}.
\overline{2}^{3}=\overline{2}\cdot\overline{2}^{2}=\overline{2}\cdot\overline{4}=\overline{8}=\overline{3}, pois 8\equiv 3\pmod{5}.
\overline{2}^{4}=\overline{2}\cdot\overline{2}^{3}=\overline{2}\cdot\overline{3}=\overline{6}=\overline{1}, pois 6\equiv 1\pmod{5}.
Passo 4
Interpretação dos resultados e conclusão sobre a ordem:
Observou-se que \overline{2}^{4}=\overline{1} e que nenhuma das potências menores (\overline{2}^{1},\overline{2}^{2},\overline{2}^{3}) é \overline{1}. Portanto a ordem de \overline{2} é 4.
Como a ordem de \overline{2} é 4 e \mathbb{Z}_{5}^{*} tem exatamente \varphi(5)=4 elementos, o conjunto das potências de \overline{2} (quatro elementos distintos) atinge todos os elementos do grupo.
Passo 5
Resumo prático para a prova (como usar esse procedimento em questões similares):
Para achar \langle\overline{a}\rangle em \mathbb{Z}_{p}^{*} com p primo, calcule \overline{a},\overline{a}^{2},\overline{a}^{3},\dots até obter \overline{1}. Os elementos distintos obtidos antes de repetir são \langle\overline{a}\rangle.
Sempre verifique se alguma potência menor já deu \overline{1} (isso dá a ordem). Use congruências simples (multiplicação e redução módulo p) — não precisa de calculadora quando p é pequeno.