Descreva os seguintes subgrupos cíclicos:
\langle\overline{2}\rangle \mathrm{em}\left(Z_{5}^{*}, \cdot\right).

Passo 1

O enunciado pede para descrever o subgrupo cíclico \langle\overline{2}\rangle no grupo \left(\mathbb{Z}_{5}^{*},\cdot\right).
Informações dadas (retiradas do enunciado):
  • O grupo em questão é \mathbb{Z}_{5}^{*}, o grupo multiplicativo das classes residuais invertíveis módulo 5.
  • Os elementos de \mathbb{Z}_{5}^{*} são \overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4}.
  • Precisamos encontrar o subgrupo gerado por \overline{2}, isto é, todos os poderes de \overline{2} sob a multiplicação módulo 5.

Passo 2

Definições e ideia do método (passo a passo didático):
  • Para um elemento a de um grupo, o subgrupo cíclico gerado por a é \langle a\rangle=\{a^{n}\mid n\in\mathbb{Z}\}.No grupo multiplicativo finito, basta calcular as potências positivas a^{1},a^{2},\dots até que apareça a^{k}=\overline{1}; então os elementos distintos obtidos antes de repetir formam \langle a\rangle.
  • A ordem de a é o menor inteiro positivo k tal que a^{k}=\overline{1}. Todos os elementos de \langle a\rangle são exatamente a^{0}=\overline{1},a^{1},\dots,a^{k-1}.
  • Aqui o produto e as potências são feitas módulo 5. A notação \overline{x} indica a classe de resto de x módulo 5.

Passo 3

Calcular as potências de \overline{2} módulo 5, uma a uma, mostrando as contas:
  • \overline{2}^{1}=\overline{2}.
  • \overline{2}^{2}=\overline{4}, pois 2\cdot 2=4 e 4\equiv 4\pmod{5}.
  • \overline{2}^{3}=\overline{2}\cdot\overline{2}^{2}=\overline{2}\cdot\overline{4}=\overline{8}=\overline{3}, pois 8\equiv 3\pmod{5}.
  • \overline{2}^{4}=\overline{2}\cdot\overline{2}^{3}=\overline{2}\cdot\overline{3}=\overline{6}=\overline{1}, pois 6\equiv 1\pmod{5}.

Passo 4

Interpretação dos resultados e conclusão sobre a ordem:
  • Observou-se que \overline{2}^{4}=\overline{1} e que nenhuma das potências menores ( \overline{2}^{1},\overline{2}^{2},\overline{2}^{3}) é \overline{1}. Portanto a ordem de \overline{2} é 4.
  • Como a ordem de \overline{2} é 4 e \mathbb{Z}_{5}^{*} tem exatamente \varphi(5)=4 elementos, o conjunto das potências de \overline{2} (quatro elementos distintos) atinge todos os elementos do grupo.

Passo 5

Resumo prático para a prova (como usar esse procedimento em questões similares):
  • Para achar \langle\overline{a}\rangle em \mathbb{Z}_{p}^{*} com p primo, calcule \overline{a},\overline{a}^{2},\overline{a}^{3},\dots até obter \overline{1}. Os elementos distintos obtidos antes de repetir são \langle\overline{a}\rangle.
  • Sempre verifique se alguma potência menor já deu \overline{1} (isso dá a ordem). Use congruências simples (multiplicação e redução módulo p) — não precisa de calculadora quando p é pequeno.

Resposta

\langle\overline{2}\rangle=\{\overline{1},\overline{2},\overline{3},\overline{4}\}=\mathbb{Z}_{5}^{*}

Exercícios relacionados