Determine o termo máximo do desenvolvimento de
\left(1+\frac{1}{2}\right)^{100}

Passo 1

O enunciado pede: determinar o termo máximo do desenvolvimento de
\left(1+\frac{1}{2}\right)^{100}.
Informações e dados relevantes que temos:
\text{expoente } n = 100.
O desenvolvimento binomial gera termos indexados por k=0,1,2,\dots,100. Cada termo (antes de simplificar) é da forma
\binom{100}{k}\cdot 1^{\,100-k}\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{k}.
Ou, simplificando, o termo geral é
T_k=\binom{100}{k}\left(\frac{1}{2}\right)^{k},
com k variando de 0 a 100. A tarefa é achar o valor de k (ou o termo) para o qual T_k é máximo.

Passo 2

Vamos explicar bem devagar por que usar a comparação entre termos consecutivos funciona — é a ideia mais prática aqui.
Pequena aula: quando temos uma sequência de números T_0,T_1,\dots,T_{100} e queremos saber onde ela atinge o máximo, uma maneira simples é olhar o quociente entre termos consecutivos
R_k=\frac{T_{k+1}}{T_k}.
Se R_k>1 então T_{k+1}>T_k (a sequência está crescendo nessa passagem). Se R_k<1 então a sequência decresce nessa passagem. O máximo ocorre no primeiro k tal que a sequência passa de crescente para decrescente — ou seja, no k em que R_{k-1}\ge 1 e R_k\le 1 (ajustando índices adequadamente). Não precisa se assustar: é só comparar vizinhos.
Agora aplicando isso ao nosso T_k. Primeiro usamos uma identidade útil sobre coeficientes binomiais:
\frac{\binom{100}{k+1}}{\binom{100}{k}}=\frac{100-k}{k+1}.
Essa fórmula vem de cancelar fatores ao escrever os binomiais como fatoriais; é uma identidade padrão e muito prática.
Com isso, o quociente entre termos consecutivos fica
R_k=\frac{T_{k+1}}{T_k} =\frac{\binom{100}{k+1}\left(\frac{1}{2}\right)^{k+1}}{\binom{100}{k}\left(\frac{1}{2}\right)^{k}} =\frac{\binom{100}{k+1}}{\binom{100}{k}}\cdot\frac{1}{2} =\frac{100-k}{k+1}\cdot\frac{1}{2}.

Passo 3

Agora determinamos para quais k temos R_k\ge 1 (a sequência ainda sobe ao passar de k para k+1).
Partimos da desigualdade
\frac{100-k}{k+1}\cdot\frac{1}{2}\ge 1.
Multiplicando ambos os lados por 2(k+1) (positivo, então não invertemos a desigualdade) obtemos
100-k \ge 2(k+1).
Desenvolvendo o lado direito:
100-k \ge 2k+2.
Somando k e subtraindo 2 dos dois lados:
98 \ge 3k.
Dividindo por 3:
k \le \frac{98}{3}.
Como k é inteiro, \dfrac{98}{3}\approx 32{,}666\ldots, logo a desigualdade inteira equivalente é
k \le 32.
Isso significa que para todo k=0,1,\dots,32 temos R_k\ge 1, ou seja, T_0\le T_1\le\cdots\le T_{33} (repare que R_{32}\ge1 implica T_{33}\ge T_{32}).

Passo 4

Agora verificamos o passo depois de k=32: para k=33 temos
R_{33}=\frac{100-33}{33+1}\cdot\frac{1}{2}=\frac{67}{34}\cdot\frac{1}{2}=\frac{67}{68}<1.
Portanto a sequência começa a decrescer ao passar de T_{33} para T_{34}. Combinando com o passo anterior (cresce até T_{33} e depois decresce), concluímos que o termo máximo é exatamente T_{33}. Em palavras: o maior termo ocorre no índice k=33 (que é o 34^\text{º}º termo, se você contar a partir de k=0).
Só para confirmar numericamente os quocientes vizinhos:
R_{32}=\frac{100-32}{32+1}\cdot\frac{1}{2}=\frac{68}{33}\cdot\frac{1}{2}=\frac{34}{33}>1,
R_{33}=\frac{67}{34}\cdot\frac{1}{2}=\frac{67}{68}<1,
o que mostra nitidamente o pico em k=33.

Passo 5

Escrevendo o termo máximo explicitamente: substituímos k=33 na expressão do termo geral
T_{33}=\binom{100}{33}\left(\frac{1}{2}\right)^{33}.
Esse é o termo do desenvolvimento com maior valor numérico.

Resposta

\displaystyle \binom{100}{33}\left(\frac{1}{2}\right)^{33}

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