Determine o termo máximo do desenvolvimento de
Passo 1
O enunciado pede: determinar o termo máximo do desenvolvimento de
Informações e dados relevantes que temos:
O desenvolvimento binomial gera termos indexados por
. Cada termo (antes de simplificar) é da forma
Ou, simplificando, o termo geral é
com
variando de
a
. A tarefa é achar o valor de
(ou o termo) para o qual
é máximo.
Passo 2
Vamos explicar bem devagar por que usar a comparação entre termos consecutivos funciona — é a ideia mais prática aqui.
Pequena aula: quando temos uma sequência de números
e queremos saber onde ela atinge o máximo, uma maneira simples é olhar o quociente entre termos consecutivos
Se
então
(a sequência está crescendo nessa passagem). Se
então a sequência decresce nessa passagem. O máximo ocorre no primeiro
tal que a sequência passa de crescente para decrescente — ou seja, no
em que
e
(ajustando índices adequadamente). Não precisa se assustar: é só comparar vizinhos.
Agora aplicando isso ao nosso
. Primeiro usamos uma identidade útil sobre coeficientes binomiais:
Essa fórmula vem de cancelar fatores ao escrever os binomiais como fatoriais; é uma identidade padrão e muito prática.
Com isso, o quociente entre termos consecutivos fica
Passo 3
Agora determinamos para quais
temos
(a sequência ainda sobe ao passar de
para
).
Partimos da desigualdade
Multiplicando ambos os lados por
(positivo, então não invertemos a desigualdade) obtemos
Desenvolvendo o lado direito:
Somando
e subtraindo
dos dois lados:
Dividindo por
:
Como
é inteiro,
, logo a desigualdade inteira equivalente é
Isso significa que para todo
temos
, ou seja,
(repare que
implica
).
Passo 4
Agora verificamos o passo depois de
: para
temos
Portanto a sequência começa a decrescer ao passar de
para
. Combinando com o passo anterior (cresce até
e depois decresce), concluímos que o termo máximo é exatamente
. Em palavras: o maior termo ocorre no índice
(que é o
termo, se você contar a partir de
).
Só para confirmar numericamente os quocientes vizinhos:
o que mostra nitidamente o pico em
.
Passo 5
Escrevendo o termo máximo explicitamente: substituímos
na expressão do termo geral
Esse é o termo do desenvolvimento com maior valor numérico.