Questão 2. (20 pontos) Considere a curva dada pela equação
4 x^2-x sin (y-1)+x y^3-x^y=4
(i) (15 pontos) Calcule d yd x.
(ii) (5 pontos) Dê a equação da reta tangente à curva no ponto (1,1).

Passo 1

O enunciado dá uma curva implícita
4x^2-xsin(y-1)+x,y^3-x^y=4
e pede (i) dydx por diferenciação implícita e (ii) a reta tangente no ponto (1,1). Vamos usar regras de derivação (produto, cadeia e a forma x^y=e^yln x) para obter dy/dx e depois avaliar em (1,1).

Passo 2

Derivando cada termo em relação a x:
ddx(4x^2)=8x.
Para -xsin(y-1) aplicamos produto e cadeia:
ddxl[-xsin(y-1)r] =-sin(y-1)-xcos(y-1),dydx
Para x,y^3 também produto e cadeia:
ddxl[x,y^3r] =y^3+3x,y^2,dydx
Para -x^y escrevemos x^y=e^yln x e usamos cadeia:
ddxl[-x^yr] =-x^yl(ddx(yln x)r) =-x^yl(ln x,dydx+yxr)
A derivada do lado direito 4 é zero. Somando tudo e igualando a zero:
8x-sin(y-1)-xcos(y-1)y'+y^3+3x,y^2y' -x^yl(ln x,y'+tfracyxr)=0,
onde escrevemos y'=dydx.

Passo 3

Agrupando os termos que contêm y' de um lado e os demais do outro:
l[-xcos(y-1)+3x,y^2-x^yln xr],y' +l[8x-sin(y-1)+y^3-tfracyxx^yr]=0
Logo
y'=-8x-sin(y-1)+y^3-tfracyxx^y -xcos(y-1)+3x,y^2-x^yln x =8x-sin(y-1)+y^3-y,x^,y-1 xcos(y-1)-3x,y^2+x^yln x

Passo 4

Agora avaliamos em (x,y)=(1,1). Temos
num =8cdot1-sin(0)+1^3-1cdot1^0=8-0+1-1=8,
den =1cdotcos0-3cdot1cdot1^2+1^1ln1 =1-3+0=-2
Então
dydx|(1,1)=8-2=-4

Passo 5

A reta tangente no ponto (1,1) com coeficiente angular m=-4 é
y-1=-4,(x-1),
isto é
y=-4x+5

Resposta

dydx =8x-sin(y-1)+y^3-y,x^,y-1 xcos(y-1)-3x,y^2+x^yln x,
reta tangente no ponto (1,1):
y=-4x+5

Exercícios relacionados