Questão 2. (20 pontos) Considere a curva dada pela equação
(i) (15 pontos) Calcule .
(ii) (5 pontos) Dê a equação da reta tangente à curva no ponto .
Passo 1
O enunciado dá uma curva implícita
e pede (i) por diferenciação implícita e (ii) a reta tangente no ponto . Vamos usar regras de derivação (produto, cadeia e a forma ) para obter e depois avaliar em .
Passo 2
Derivando cada termo em relação a : .
Para aplicamos produto e cadeia:
Para também produto e cadeia:
Para escrevemos e usamos cadeia:
A derivada do lado direito é zero. Somando tudo e igualando a zero:
onde escrevemos .
Passo 3
Agrupando os termos que contêm de um lado e os demais do outro:
Logo
Passo 4
Agora avaliamos em . Temos
Então
Passo 5
A reta tangente no ponto (1,1) com coeficiente angular m=-4 é
y-1=-4,(x-1),
isto é
y=-4x+5
Resposta
dydx =8x-sin(y-1)+y^3-y,x^,y-1 xcos(y-1)-3x,y^2+x^yln x,
reta tangente no ponto (1,1):