Questão 3. (40 pontos) Seja
Dê o que é pedido:
(i) (2 pontos) O domínio de
.
(ii) (3 pontos) As assíntotas verticais ao gráfico de
.
(iii) (2 pontos) As assíntotas horizontais ao gráfico de
.
(iv) (5 pontos)
.
(v) (2 pontos) Os pontos críticos de
.
(vi) (5 pontos) Os intervalos onde
é crescente e os intervalos onde
é decrescente.
(vii) (5 pontos) Os pontos de máximo e de mínimo de
.
(viii) (5 pontos) Sabendo que
os intervalos onde
é côncava para cima e os intervalos onde
é côncava para baixo.
(ix) (3 pontos) Os pontos de inflexão de
.
(x) (8 pontos) Desenhe o gráfico de
.
(i) (2 pontos) O domínio de
(ii) (3 pontos) As assíntotas verticais ao gráfico de
(iii) (2 pontos) As assíntotas horizontais ao gráfico de
(iv) (5 pontos)
(v) (2 pontos) Os pontos críticos de
(vi) (5 pontos) Os intervalos onde
(vii) (5 pontos) Os pontos de máximo e de mínimo de
(viii) (5 pontos) Sabendo que
(ix) (3 pontos) Os pontos de inflexão de
(x) (8 pontos) Desenhe o gráfico de
Passo 1
O enunciado pede uma análise completa da função
incluindo domínio, assíntotas, derivadas, monotonia, extremos, concavidade, pontos de inflexão e esboço do gráfico. Vamos usar propriedades de logaritmos, derivação de funções racional e critérios de sinal de derivadas para obter todas as informações.
Passo 2
Para achar o domínio de
, exigimos que o argumento do logaritmo seja positivo e definido. Temos
sempre que
e
. Logo o domínio é
Passo 3
As assíntotas verticais ocorrem onde
não está definida e tende a
. São
e
, pois ao nos aproximarmos desses valores o argumento do logaritmo vai a
ou a
, fazendo
.
Passo 4
Para
Portanto há assíntota horizontal
.
Passo 5
Reescrevemos
como
Derivando,
Passo 6
Pontos críticos são onde
ou indefinida. Aqui
nunca se anula (numerador
) e é indefinida em
, que já não pertencem ao domínio. Concluímos que não há pontos críticos internos.
Passo 7
O sinal de
é dado pelo produto
:
- Se
ou , então , logo . - Se
, então , logo .
Portanto
é decrescente em
e em
, e crescente em
.
Passo 8
Como não há pontos onde
, não existem máximos nem mínimos locais no interior do domínio.
Passo 9
Usando
o denominador é sempre positivo em todo o domínio, e o numerador muda de sinal em
. Logo:
-
para , ou seja em e : côncava para baixo. -
para , ou seja em e : côncava para cima.
Passo 10
Ponto de inflexão ocorre em
, pois aí
muda de sinal e
é definida. O valor é
Portanto há inflexão em
.
Passo 11
Esboço do gráfico de
:
- Domínio
, , . - Assíntotas verticais:
, . Assíntota horizontal: . - Em
: decrescente e côncava para baixo, tende a quando e a quando . - Em
: crescente, muda de côncavidade em , vai de em a em . - Em
: decrescente e côncava para cima, vai de em a em .
(Status gráfico: duas “ramificações” com os comportamentos acima, cruzando o eixo horizontal em
com inflexão em zero.)
Resposta
(i)
(ii) e
.
(iii) .
(iv)
(v) Não há pontos críticos internos.
(vi) Crescente em ; decrescente em
e
(vii) Não há máximos nem mínimos locais.
(viii) Côncava para baixo em ; côncava para cima em
(ix) Inflexão em
(x) Gráfico conforme descrito no Passo 11, com assíntotas verticais em e horizontal em
, sinais e concavidades nos intervalos indicados.
(ii)
(iii)
(iv)
(v) Não há pontos críticos internos.
(vi) Crescente em
(vii) Não há máximos nem mínimos locais.
(viii) Côncava para baixo em
(ix) Inflexão em
(x) Gráfico conforme descrito no Passo 11, com assíntotas verticais em