Questão 3. (40 pontos) Seja
f(x)=ln (x^2(x-1)^2)
Dê o que é pedido:
(i) (2 pontos) O domínio de f.
(ii) (3 pontos) As assíntotas verticais ao gráfico de f.
(iii) (2 pontos) As assíntotas horizontais ao gráfico de f.
(iv) (5 pontos) f^prime(x).
(v) (2 pontos) Os pontos críticos de f.
(vi) (5 pontos) Os intervalos onde f é crescente e os intervalos onde f é decrescente.
(vii) (5 pontos) Os pontos de máximo e de mínimo de f.
(viii) (5 pontos) Sabendo que
f^prime prime(x)=-2x^2+2(x-1)^2
os intervalos onde f é côncava para cima e os intervalos onde f é côncava para baixo.
(ix) (3 pontos) Os pontos de inflexão de f.
(x) (8 pontos) Desenhe o gráfico de f.

Passo 1

O enunciado pede uma análise completa da função
f(x)=ln!gl(x^2(x-1)^2gr)
incluindo domínio, assíntotas, derivadas, monotonia, extremos, concavidade, pontos de inflexão e esboço do gráfico. Vamos usar propriedades de logaritmos, derivação de funções racional e critérios de sinal de derivadas para obter todas as informações.

Passo 2

Para achar o domínio de f, exigimos que o argumento do logaritmo seja positivo e definido. Temos
x^2(x-1)^2>0
sempre que xneq0 e xneq1. Logo o domínio é
xinRmid xneq0,;xneq1 =;(-infty,0)cup(0,1)cup(1,infty)

Passo 3

As assíntotas verticais ocorrem onde f não está definida e tende a pminfty. São x=0 e x=1, pois ao nos aproximarmos desses valores o argumento do logaritmo vai a 0 ou a +infty, fazendo f(x)topminfty.

Passo 4

Para xtopminfty
f(x)=ln!l(tfracx^2(x-1)^2r) =ln!l(tfracx^2x^2(1-tfrac1x)^2r) =ln!l(tfrac1(1-tfrac1x)^2r)toln(1)=0
Portanto há assíntota horizontal y=0.

Passo 5

Reescrevemos f como
f(x)=2ln|x|-2ln|x-1|
Derivando,
f'(x)=2cdot1x-2cdot1x-1 =2(x-1)-2xx(x-1) =-2x(x-1)

Passo 6

Pontos críticos são onde f'(x)=0 ou indefinida. Aqui f'(x) nunca se anula (numerador -2neq0) e é indefinida em x=0,1, que já não pertencem ao domínio. Concluímos que não há pontos críticos internos.

Passo 7

O sinal de
f'(x)=-2x(x-1)
é dado pelo produto x(x-1):
  • Se xin(-infty,0) ou xin(1,infty), então x(x-1)>0, logo f'(x)<0.
  • Se xin(0,1), então x(x-1)<0, logo f'(x)>0.
Portanto f é decrescente em (-infty,0) e em (1,infty), e crescente em (0,1).

Passo 8

Como não há pontos onde f'(x)=0, não existem máximos nem mínimos locais no interior do domínio.

Passo 9

Usando
f''(x)=-2x^2+2(x-1)^2 = 2(2x-1)x^2(x-1)^2,
o denominador é sempre positivo em todo o domínio, e o numerador muda de sinal em x=tfrac12. Logo:
  • f''(x)<0 para x<tfrac12, ou seja em (-infty,0) e (0,tfrac12): côncava para baixo.
  • f''(x)>0 para x>tfrac12, ou seja em (tfrac12,1) e (1,infty): côncava para cima.

Passo 10

Ponto de inflexão ocorre em x=tfrac12, pois aí f'' muda de sinal e f é definida. O valor é
fl(tfrac12r) =ln!l((1/2)^2(-1/2)^2r) =ln(1)=0
Portanto há inflexão em l(tfrac12,0r).

Passo 11

Esboço do gráfico de f:
  • Domínio (-infty,0), (0,1), (1,infty).
  • Assíntotas verticais: x=0, x=1. Assíntota horizontal: y=0.
  • Em (-infty,0): f decrescente e côncava para baixo, tende a 0^- quando xto-infty e a -infty quando xto0^-.
  • Em (0,1): f crescente, muda de côncavidade em tfrac12, vai de -infty em xto0^+ a +infty em xto1^-.
  • Em (1,infty): f decrescente e côncava para cima, vai de +infty em xto1^+ a 0^+ em xto+infty.
(Status gráfico: duas “ramificações” com os comportamentos acima, cruzando o eixo horizontal em x=tfrac12 com inflexão em zero.)

Resposta

(i) Dom,f=(-infty,0)cup(0,1)cup(1,infty)
(ii) x=0 e x=1.
(iii) y=0.
(iv) f'(x)=-dfrac2x(x-1)
(v) Não há pontos críticos internos.
(vi) Crescente em (0,1); decrescente em (-infty,0) e (1,infty)
(vii) Não há máximos nem mínimos locais.
(viii) Côncava para baixo em (-infty,0)cup(0,tfrac12); côncava para cima em (tfrac12,1)cup(1,infty)
(ix) Inflexão em l(tfrac12,0r)
(x) Gráfico conforme descrito no Passo 11, com assíntotas verticais em x=0,1 e horizontal em y=0, sinais e concavidades nos intervalos indicados.

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