A partir da definição de limite, prove que:
lim substackx 1 y 2(3 x^2+y)=5

Passo 1

Vamos provar que lim(x,y)to(1,2)l(3x^2+yr)=5 usando a definição de limite para funções de duas variáveis: dado varepsilon>0, precisamos achar de0 tal que se 0 então |3x^2+y-5|.
Observe que
|3x^2+y-5| = |3x^2-3 + y-2| = |3(x^2-1) + (y-2)|,
e pelo triângulo temos
|3(x^2-1)+(y-2)| <= 3|x^2-1| + |y-2|

Passo 2

Agora, note que
|x^2-1| = |x-1|,|x+1|
Para controlar |x+1|, imponha de. Assim, se raiz(x-1)^2+(y-2)^2 então |x-1|<1 e logo
|x+1| = |(x-1)+2| <= |x-1| + 2 < 3

Passo 3

Portanto
3|x^2-1| <= 3cdot|x-1|cdot3 = 9|x-1|,
e voltando à nossa desigualdade,
|3x^2+y-5| <= 9|x-1| + |y-2|

Passo 4

Como raiz(x-1)^2+(y-2)^2 implica |x-1| e |y-2|, segue que
|3x^2+y-5| <= 9de
Para garantir |3x^2+y-5|, basta escolher
de

Passo 5

Com essa escolha, sempre que 0 teremos |3x^2+y-5|<=10de, concluindo a prova.

Resposta

5

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