Encontre o sup e inf em
de:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o supremo (sup) e o ínfimo (inf) do conjunto $ A_3 = { q \in \mathbb{Q} : q < 2 } $ em
.
Aqui, estamos trabalhando com supremo e ínfimo, que são conceitos de análise matemática relacionados a limites superiores e inferiores de conjuntos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é supremo e ínfimo e como aplicá-los a conjuntos de números racionais.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o supremo. O supremo de um conjunto é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos do conjunto. Ou seja, é como o “teto” do conjunto.
No nosso caso, $ A_3 $ é o conjunto de todos os números racionais menores que 2. Como todos esses números são menores que 2, o supremo deve ser 2, porque nenhum número maior que 2 pode ser o menor número maior que todos os elementos de $ A_3 $.
Passo 3
Agora, vamos pensar no ínfimo. O ínfimo é o maior número que é menor ou igual a todos os elementos do conjunto, ou seja, o “pé” do conjunto.
Observando $ A_3 = { q \in \mathbb{Q} : q < 2 } $, vemos que não há um número real que seja o menor de todos os racionais menores que 2. Isso porque, para qualquer número que você escolher, sempre dá para encontrar um número racional menor ainda. Por exemplo, se você escolher
, sempre existe um racional menor que ele.
Passo 4
Como não existe um menor número real que seja menor que todos os racionais menores que 2, o conjunto $ A_3 $ não possui ínfimo em
. Em termos matemáticos, dizemos que o ínfimo é
, mas geralmente consideramos que o ínfimo não existe dentro dos números reais.
Resposta
O supremo de $ A_3 $ é $ \sup A_3 = 2 $ e $ A_3 $ não possui ínfimo em
.