Encontre o sup e inf em R de:
A3=q in Q: q<2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar o supremo (sup) e o ínfimo (inf) do conjunto $ A_3 = { q \in \mathbb{Q} : q < 2 } $ em A3 = q in Q : q < 2 .
Aqui, estamos trabalhando com supremo e ínfimo, que são conceitos de análise matemática relacionados a limites superiores e inferiores de conjuntos. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é supremo e ínfimo e como aplicá-los a conjuntos de números racionais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o supremo. O supremo de um conjunto é o menor número que é maior ou igual a todos os elementos do conjunto. Ou seja, é como o “teto” do conjunto.
No nosso caso, $ A_3 $ é o conjunto de todos os números racionais menores que 2. Como todos esses números são menores que 2, o supremo deve ser 2, porque nenhum número maior que 2 pode ser o menor número maior que todos os elementos de $ A_3 $.

Passo 3

Agora, vamos pensar no ínfimo. O ínfimo é o maior número que é menor ou igual a todos os elementos do conjunto, ou seja, o “pé” do conjunto.
Observando $ A_3 = { q \in \mathbb{Q} : q < 2 } $, vemos que não há um número real que seja o menor de todos os racionais menores que 2. Isso porque, para qualquer número que você escolher, sempre dá para encontrar um número racional menor ainda. Por exemplo, se você escolher A3 = q in Q : q < 2 , sempre existe um racional menor que ele.

Passo 4

Como não existe um menor número real que seja menor que todos os racionais menores que 2, o conjunto $ A_3 $ não possui ínfimo em A3 . Em termos matemáticos, dizemos que o ínfimo é R, mas geralmente consideramos que o ínfimo não existe dentro dos números reais.

Resposta

O supremo de $ A_3 $ é $ \sup A_3 = 2 $ e $ A_3 $ não possui ínfimo em A3 .

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