A partir da definição de limite, prove que:
lim substackx 1 y -2(x^2-y^2)=-3

Passo 1

O enunciado pede para provar, usando a definição de limite (ε–δ) em ℝ², que limsubstackxto1yto-2(x^2 - y^2) = -3. Vamos ver o que isso significa e como encontrar um δ que funcione para um dado ε>0.

Passo 2

Por definição de limite em duas variáveis, devemos mostrar que para todo ε>0 existe δ>0 tal que se 0 então
| (x^2 - y^2) - (-3) | = |x^2 - y^2 + 3| < ε

Passo 3

Começamos manipulando a expressão dentro do valor absoluto:
x^2 - y^2 + 3 = x^2 - 1 - (y^2 - 4) = (x-1)(x+1) - (y+2)(y-2)

Passo 4

Aplicando a desigualdade triangular, temos
|x^2 - y^2 + 3| = |(x-1)(x+1) - (y+2)(y-2)| <= |x-1|,|x+1| + |y+2|,|y-2|

Passo 5

Para simplificar, imponho também δ<=1. Assim, se 0 então |x-1|<1 e |y+2|<1. Daí
|x+1| = |(x-1)+2| <= |x-1| + 2 < 3,
|y-2| = |(y+2)-4| <= |y+2| + 4 < 5

Passo 6

Substituindo esses limites na desigualdade anterior, obtemos
|x^2 - y^2 + 3| <= 3|x-1| + 5|y+2| <= 8max|x-1|,|y+2| <= 8raiz(x-1)^2+(y+2)^2

Passo 7

Para garantir |x^2 - y^2 + 3| < ε, basta escolher
δ = minl(1,,ε8r)

Passo 8

Com essa escolha, sempre que 0 segue |x^2 - y^2 + 3|<8δ<=8cdot(ε/8)=ε, fechando a prova.

Resposta

Para satisfazer a definição de limite, basta tomar δ = min(1, ε/8). Com isso, se 0 então |x^2 - y^2 +3|<ε, logo limsubstackxto1yto-2(x^2 - y^2)=-3.

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