A partir da definição de limite, prove que:
Passo 1
O enunciado pede para provar, usando a definição de limite (ε–δ) em ℝ², que
. Vamos ver o que isso significa e como encontrar um δ que funcione para um dado ε>0.
Passo 2
Por definição de limite em duas variáveis, devemos mostrar que para todo
existe
tal que se
então
Passo 3
Começamos manipulando a expressão dentro do valor absoluto:
Passo 4
Aplicando a desigualdade triangular, temos
Passo 5
Para simplificar, imponho também
. Assim, se
então
e
. Daí
Passo 6
Substituindo esses limites na desigualdade anterior, obtemos
Passo 7
Para garantir
, basta escolher
Passo 8
Com essa escolha, sempre que
segue
, fechando a prova.
Resposta
Para satisfazer a definição de limite, basta tomar
. Com isso, se
então
, logo
.