A partir das definições abaixo, encontre o que é solicitado, explicando sempre com riqueza científica e acadêmica.
(a) Da primeira Lei da Termodinâmica na sua forma diferencial completa, encontre DETALHADAMENTE as grandezas apropriadas.

Passo 1

O enunciado pede que, a partir da forma diferencial completa da Primeira Lei da Termodinâmica, a gente identifique “detalhadamente as grandezas apropriadas”. Isso cai no conteúdo de termodinâmica clássica, em que tratamos a energia interna U como uma função de variáveis de estado (entropia S, volume V e números de mols N_i de cada componente). Nosso objetivo é escrever o diferencial total de U e definir cada coeficiente físico que aparece nele.

Passo 2

Em termodinâmica, adotamos a hipótese de que a energia interna pode ser escrita como
U = U\bigl(S,\,V,\,N_1,\,N_2,\dots,N_k\bigr)
onde k é o número de espécies químicas presentes. Como U depende dessas variáveis, o seu diferencial total vale, segundo a regra de diferenciação de múltiplas variáveis,
dU = \frac{\partial U}{\partial S}\,dS + \frac{\partial U}{\partial V}\,dV + \sum_{i=1}^{k}\frac{\partial U}{\partial N_i}\,dN_i.

Passo 3

A Primeira Lei na forma diferencial completa relaciona dU à troca de calor \delta Q e ao trabalho \delta W. Para processos reversíveis, convencionamos
\delta Q_{\rm rev} = T\,dS \qquad\text{e}\qquad \delta W_{\rm rev} = p\,dV
sendo T a temperatura termodinâmica e p a pressão. Substituindo essas expressões no enunciado genérico
dU = \delta Q_{\rm rev} - \delta W_{\rm rev}
vemos que
dU = T\,dS - p\,dV.
Mas, como U também varia se mudamos as quantidades de matéria, acrescentamos o termo químico \mu_i\,dN_i, onde \mu_i é o potencial químico da espécie i.

Passo 4

Igualando termo a termo a expressão diferencial geral de U do Passo 2 com a do Passo 3, reconhecemos as definições termodinâmicas:
\frac{\partial U}{\partial S}\bigg|_{V,N} = T, \qquad \frac{\partial U}{\partial V}\bigg|_{S,N} = -\,p, \qquad \frac{\partial U}{\partial N_i}\bigg|_{S,V,N_{j\neq i}} = \mu_i.
Assim cada coeficiente do diferencial total de U ganha interpretação física clara:
  • T é a temperatura,
  • p é a pressão,
  • \mu_i é o potencial químico da espécie i.

Resposta

A forma diferencial completa da Primeira Lei da Termodinâmica é
dU = T\,dS \;-\; p\,dV \;+\; \sum_{i=1}^{k}\mu_i\,dN_i,
onde
T = \frac{\partial U}{\partial S}\bigg|_{V,N}, \quad p = -\,\frac{\partial U}{\partial V}\bigg|_{S,N}, \quad \mu_i = \frac{\partial U}{\partial N_i}\bigg|_{S,V,N_{j\neq i}}.

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