(2 PONTOS) Uma bala de prata de 13 g choca-se verticalmente com uma proteção de aço, com uma velocidade inicial v_{0}=888 \mathrm{~m} / \mathrm{s} e temperatura de 20^{\circ} \mathrm{C}. Supondo que a proteção não sofra nenhuma deformação, e que toda a energia cinética da bala transformou-se em calor após a colisão, determine a variação de entropia da bala até atingir sua temperatura final. Dados \mathrm{cAg}^{\text {líquido }}=0,0566í; Cag sólido =0,0564 \mathrm{cal} / \mathrm{g}^{\circ} \mathrm{C}; \mathrm{L}_{\mathrm{Ag}}=25,1 \mathrm{cal} / \mathrm{g} ; \mathrm{T}^{\mathrm{FUSÃO}^{\mathrm{O}}}{ }_{\mathrm{Ag}}=960^{\circ} \mathrm{C}Ã.

Passo 1

O enunciado dá uma bala de prata de massa m=13 g que choca-se com velocidade inicial v_{0}=888 m/s e temperatura inicial T_{i}=20^\circ\mathrm{C}. Toda a energia cinética é convertida em calor na bala, sem deformação da proteção. Queremos a variação de entropia \Delta S da bala até sua temperatura final. O conteúdo envolve conservação de energia, calor sensível, calor latente e cálculo de entropia por integração de \mathrm{d}Q/T.

Passo 2

Calculamos a energia cinética e convertemos para calor em calororias.
E_k = \tfrac12 m_{\text{kg}} v_0^2 = \tfrac12 \times 0{,}013\,\mathrm{kg}\times(888\,\mathrm{m/s})^2 \approx 5125{,}5\\ \mathrm{J}.
Convertendo para calorias
Q_{\text{tot}} = \frac{5125{,}5\\ \mathrm{J}}{4{,}184\\ \mathrm{J/cal}} \approx 1224{,}3\\ \mathrm{cal}.

Passo 3

Determinamos quanto dessa energia aquece o sólido até a fusão a T_{m}=960^\circ\mathrm{C}, funde-o, e eleva o líquido até a temperatura final T_{f}.
  1. Calor para aquecer sólido de 20^\circ\mathrm{C} a 960^\circ\mathrm{C}:
Q_1 = m\,c_{\text{sólido}}\,\Delta T = 13 \times 0{,}0564 \times (960-20) \approx 689{,}2\\ \mathrm{cal}.ó
  1. Calor de fusão total:
Q_2 = m\,L = 13 \times 25{,}1 \approx 326{,}3\\ \mathrm{cal}.
  1. Energia restante para aquecer o líquido:
Q_3 = Q_{\text{tot}} - Q_1 - Q_2 \approx 1224{,}3 - 689{,}2 - 326{,}3 = 208{,}8\\ \mathrm{cal}.
  1. A elevação de temperatura do líquido:
\Delta T_{\ell} = \frac{Q_3}{m\,c_{\text{líquido}}} = \frac{208{,}8}{13 \times 0{,}0566} \approx 283{,}9^\circ\mathrm{C}.í
Portanto a temperatura final em Kelvin é
T_i = 20+273{,}15 = 293{,}15\\ \mathrm{K}, \quad T_m = 960+273{,}15 = 1233{,}15\\ \mathrm{K}, \quad T_f = (960+283{,}9)+273{,}15 = 1517{,}05\\ \mathrm{K}.

Passo 4

Calculamos a entropia absorvida ao aquecer o sólido de T_i a T_m:
\Delta S_1 = \int_{T_i}^{T_m} \frac{m\,c_{\text{sólido}}}{T}\,\mathrm{d}T = m\,c_{\text{sólido}}\ln\!\biggl(\frac{T_m}{T_i}\biggr)óó
= 13 \times 0{,}0564 \times \ln\!\biggl(\frac{1233{,}15}{293{,}15}\biggr) \approx 1{,}053\\ \mathrm{cal/K}.

Passo 5

Calculamos a entropia de fusão à temperatura constante T_m:
\Delta S_2 = \frac{Q_2}{T_m} = \frac{326{,}3}{1233{,}15} \approx 0{,}265\\ \mathrm{cal/K}.

Passo 6

Calculamos a entropia ao aquecer o líquido de T_m a T_f:
\Delta S_3 = \int_{T_m}^{T_f} \frac{m\,c_{\text{líquido}}}{T}\,\mathrm{d}T = m\,c_{\text{líquido}}\ln\!\biggl(\frac{T_f}{T_m}\biggr)íí
= 13 \times 0{,}0566 \times \ln\!\biggl(\frac{1517{,}05}{1233{,}15}\biggr) \approx 0{,}152\\ \mathrm{cal/K}.

Passo 7

Somamos todas as contribuições e convertemos para \mathrm{J/K}:
\Delta S_{\text{tot}} = \Delta S_1 + \Delta S_2 + \Delta S_3 \approx 1{,}053 + 0{,}265 + 0{,}152 = 1{,}470\\ \mathrm{cal/K}.
\Delta S_{\text{tot}} = 1{,}470\\ \mathrm{cal/K} \times 4{,}184\\ \frac{\mathrm{J}}{\mathrm{cal}} \approx 6{,}15\\ \mathrm{J/K}.

Resposta

A variação de entropia da bala é aproximadamente 6{,}15\\ \mathrm{J/K}.

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