Prove as seguintes relações para o sistema binário:
J_{1}^{v}+J_{2}^{v}=c(v-u)

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade
J_{1}^{v}+J_{2}^{v}=c(v-u)
para um sistema binário. Lista clara das informações que vamos usar (todas as variáveis abaixo são as que aparecem no enunciado implícito):
  • c_{1} e c_{2} são as concentrações molares (ou numéricas) das duas espécies.
  • c é a concentração total:
c = c_{1}+c_{2}.
  • v_{1} e v_{2} são as velocidades das partículas (ou velocidades molares) de cada espécie.
  • v é uma velocidade de referência escolhida (por exemplo, velocidade do referencial em que se mede os fluxos).
  • u é a velocidade média (velocidade média molar do fluido), definida por
u=\frac{c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}}{c}.
  • A definição usada para o fluxo difusivo relativo à velocidade v é
J_{i}^{v}=c_{i}\bigl(v-v_{i}\bigr)\qquad\text{para }i=1,2.
(Na prática existem convenções com sinal trocado; aqui adotamos esta definição pois ela é compatível com a forma alvo da identidade.)

Passo 2

Escreve-se explicitamente a soma dos dois fluxos usando a definição dada:
J_{1}^{v}+J_{2}^{v}=c_{1}\bigl(v-v_{1}\bigr)+c_{2}\bigl(v-v_{2}\bigr).

Passo 3

Fatorando v e agrupando os termos obtemos
J_{1}^{v}+J_{2}^{v}=v\bigl(c_{1}+c_{2}\bigr)-\bigl(c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}\bigr).

Passo 4

Substituindo c=c_{1}+c_{2} e usando a definição de u, que implica \,c\,u=c_{1}v_{1}+c_{2}v_{2}\,, temos
J_{1}^{v}+J_{2}^{v}=v\,c - c\,u.

Passo 5

Colocando em forma final:
J_{1}^{v}+J_{2}^{v}=c\bigl(v-u\bigr),
que é exatamente a identidade pedida.

Resposta

J_{1}^{v}+J_{2}^{v}=c(v-u)

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