3^{\underline{\text { a }}} )
Dois cilindros concêntricos verticais possuem diâmetros de 2,0 \mathrm{~cm} e 2,4 \mathrm{~cm}. O cilindro interno possui 50 cm de comprimento e pode deslizar com velocidade constante de 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s} dentro do cilindro externo que está imóvel e possui comprimento considerado infinito. Um fluido newtoniano com viscosidade dinâmica de 0,5 \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2} preenche completamente o espaço anular entre os cilindros. Admitindo-se a gravidade como 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e o perfil de velocidade no filme como linear, qual a massa do tubo que desliza, em kg?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados fornecidos:
    • Diâmetro do cilindro interno: D_i = 2{,}0\\ \text{cm} = 0{,}02\\ \text{m}.
    • Diâmetro do cilindro externo: D_e = 2{,}4\\ \text{cm} = 0{,}024\\ \text{m}.
    • Comprimento do cilindro interno (parte imersa/ativa): L = 50\\ \text{cm} = 0{,}50\\ \text{m}.
    • Velocidade constante do cilindro interno: U = 2\\ \text{m/s}.
    • Cilindro externo imóvel (velocidade zero).
    • Fluido newtoniano com viscosidade dinâmica \mu = 0{,}5\\ \text{N}\cdot\text{s}/\text{m}^2.
    • Gravidade g = 10\\ \text{m/s}^2.
    • Perfil de velocidade no filme (entre as superfícies) é admitido linear.
  • O que o enunciado pede:
    • Determinar a massa m do tubo (cilindro interno) em kg, supondo movimento retilíneo uniforme (forças verticais equilibradas).

Passo 2

Entendendo quais forças atuam (ideia física) e qual hipótese usar.
  • O cilindro desliza com velocidade constante, logo a soma das forças verticais sobre ele é nula.
  • As forças relevantes verticalmente são: peso P = m g (para baixo) e a força viscosa de atrito do fluido sobre a superfície lateral do cilindro (para cima ou para baixo, dependendo do sentido do movimento; no equilíbrio a magnitude deve igualar o peso).
  • Não foi dada a densidade do fluido nem indicação de forças de empuxo; como a densidade não foi fornecida não é possível calcular empuxo. Questões desse tipo costumam balancear apenas o peso com a força viscosa lateral quando o enunciado dá viscosidade e pede massa. Logo iremos assumir que o peso é equilibrado pela força viscosa lateral. (Se houvesse densidade do fluido, incluiríamos o empuxo; aqui não dá para calcular.)

Passo 3

Expressão da tensão de cisalhamento para perfil de velocidade linear e força viscosa total.
  • Para um fluido newtoniano a tensão de cisalhamento tangencial na parede vale
\tau = \mu\;\frac{du}{dr},
onde \tau é a tensão de cisalhamento (em \text{N/m}^2), \mu é a viscosidade dinâmica e du/dr é o gradiente de velocidade na direção radial (variação de velocidade por unidade de distância radial).
  • Com perfil linear entre as duas superfícies concêntricas:
    • velocidade na superfície do cilindro interno: u(r_i)=U;
    • velocidade na superfície do cilindro externo: u(r_e)=0;
    • distância radial entre superfícies: h = r_e - r_i.
      Então o gradiente aproximado é
\frac{du}{dr} \approx \frac{U-0}{h} = \frac{U}{h}.
  • A força viscosa total sobre o cilindro interno (somando toda a área lateral) é a tensão multiplicada pela área lateral do cilindro interno:
F_{\text{visc}} = \tau \cdot A = \mu\frac{U}{h}\cdot (\text{área lateral}) .á
  • A área lateral do cilindro interno é
A = \pi D_i L.

Passo 4

Calcular o espaçamento radial h e o gradiente de velocidade.
  • Raio interno r_i = \dfrac{D_i}{2} = \dfrac{0{,}02}{2} = 0{,}01\\ \text{m}.
  • Raio externo r_e = \dfrac{D_e}{2} = \dfrac{0{,}024}{2} = 0{,}012\\ \text{m}.
  • Gap (espessura do filme) \displaystyle h = r_e-r_i = 0{,}012-0{,}01 = 0{,}002\\ \text{m}.
  • Gradiente de velocidade aproximado:
\frac{du}{dr} \approx \frac{U}{h} = \frac{2}{0{,}002} = 1000\\ \text{s}^{-1}.

Passo 5

Calcular a tensão de cisalhamento na parede do cilindro interno.
  • Usando \tau=\mu\,(du/dr),
\tau = 0{,}5 \cdot 1000 = 500\\ \text{N/m}^2.

Passo 6

Calcular a força viscosa total F_{\text{visc}}.
  • Área lateral do cilindro interno:
A = \pi D_i L = \pi \cdot 0{,}02 \cdot 0{,}50 = \pi \cdot 0{,}01 = 0{,}01\pi\\ \text{m}^2.
  • Força viscosa:
F_{\text{visc}} = \tau \, A = 500 \cdot 0{,}01\pi = 5\pi\\ \text{N}.
  • Valor numérico:
5\pi \approx 5\cdot 3{,}1416 \approx 15{,}708\\ \text{N}.

Passo 7

Balance de forças e cálculo da massa.
  • Equilíbrio vertical (movimento a velocidade constante):
m g = F_{\text{visc}}.
  • Isolando m:
m = \frac{F_{\text{visc}}}{g} = \frac{5\pi}{10} = \frac{\pi}{2}\\ \text{kg}.
  • Valor numérico:
m \approx \frac{15{,}708}{10} \approx 1{,}5708\\ \text{kg}.

Passo 8

Comentário final e arredondamento.
  • Arredondando para duas casas decimais (suficiente para dados dados), obtemos m\approx 1{,}57\\ \text{kg}.
  • Observação amistosa: foi assumido que o empuxo é desprezível ou impossível de calcular pela falta da densidade do fluido; se a densidade fosse fornecida, haveria que subtrair o empuxo do peso antes de igualar à força viscosa.

Resposta

\;1{,}57\\ \text{kg}

Exercícios relacionados