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Dois cilindros concêntricos verticais possuem diâmetros de 2,0 \mathrm{~cm} e 2,4 \mathrm{~cm}. O cilindro interno possui 50 cm de comprimento e pode deslizar com velocidade constante de 2 \mathrm{~m} / \mathrm{s} dentro do cilindro externo que está imóvel e possui comprimento considerado infinito. Um fluido newtoniano com viscosidade dinâmica de 0,5 \mathrm{~N} . \mathrm{s} / \mathrm{m}^{2} preenche completamente o espaço anular entre os cilindros. Admitindo-se a gravidade como 10 \mathrm{~m} / \mathrm{s}^{2} e o perfil de velocidade no filme como linear, qual a massa do tubo que desliza, em kg?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Comprimento do cilindro interno (parte imersa/ativa): L = 50\\ \text{cm} = 0{,}50\\ \text{m}.
Velocidade constante do cilindro interno: U = 2\\ \text{m/s}.
Cilindro externo imóvel (velocidade zero).
Fluido newtoniano com viscosidade dinâmica \mu = 0{,}5\\ \text{N}\cdot\text{s}/\text{m}^2.
Gravidade g = 10\\ \text{m/s}^2.
Perfil de velocidade no filme (entre as superfícies) é admitido linear.
O que o enunciado pede:
Determinar a massa m do tubo (cilindro interno) em kg, supondo movimento retilíneo uniforme (forças verticais equilibradas).
Passo 2
Entendendo quais forças atuam (ideia física) e qual hipótese usar.
O cilindro desliza com velocidade constante, logo a soma das forças verticais sobre ele é nula.
As forças relevantes verticalmente são: peso P = m g (para baixo) e a força viscosa de atrito do fluido sobre a superfície lateral do cilindro (para cima ou para baixo, dependendo do sentido do movimento; no equilíbrio a magnitude deve igualar o peso).
Não foi dada a densidade do fluido nem indicação de forças de empuxo; como a densidade não foi fornecida não é possível calcular empuxo. Questões desse tipo costumam balancear apenas o peso com a força viscosa lateral quando o enunciado dá viscosidade e pede massa. Logo iremos assumir que o peso é equilibrado pela força viscosa lateral. (Se houvesse densidade do fluido, incluiríamos o empuxo; aqui não dá para calcular.)
Passo 3
Expressão da tensão de cisalhamento para perfil de velocidade linear e força viscosa total.
Para um fluido newtoniano a tensão de cisalhamento tangencial na parede vale
\tau = \mu\;\frac{du}{dr},
onde \tau é a tensão de cisalhamento (em \text{N/m}^2), \mu é a viscosidade dinâmica e du/dr é o gradiente de velocidade na direção radial (variação de velocidade por unidade de distância radial).
Com perfil linear entre as duas superfícies concêntricas:
velocidade na superfície do cilindro interno: u(r_i)=U;
velocidade na superfície do cilindro externo: u(r_e)=0;
distância radial entre superfícies: h = r_e - r_i.
Então o gradiente aproximado é
Equilíbrio vertical (movimento a velocidade constante):
m g = F_{\text{visc}}.
Isolando m:
m = \frac{F_{\text{visc}}}{g} = \frac{5\pi}{10} = \frac{\pi}{2}\\ \text{kg}.
Valor numérico:
m \approx \frac{15{,}708}{10} \approx 1{,}5708\\ \text{kg}.
Passo 8
Comentário final e arredondamento.
Arredondando para duas casas decimais (suficiente para dados dados), obtemos m\approx 1{,}57\\ \text{kg}.
Observação amistosa: foi assumido que o empuxo é desprezível ou impossível de calcular pela falta da densidade do fluido; se a densidade fosse fornecida, haveria que subtrair o empuxo do peso antes de igualar à força viscosa.