A partir das definições de fração mássica e fração molar deduzir as equações para misturas binárias:
d wi=Mi Mj d xi(xi Mi+xj Mj)^2

Passo 1

Beleza, então o enunciado quer que a gente comece das definições de fração molar e fração mássica de uma mistura binária (dois componentes i e j) e prove que
d wi ;=;Mi,Mjl(xiMi+xjMjr)^2;d xi
O conteúdo aqui é termodinâmica/engenharia química básica: lembramos que fração molar é e fração mássica é . Para derivar essa relação, vamos usar regras de diferenciação (quociente e cadeia), além de explorar que em binárias .

Passo 2

Definindo as coisas:
  • x_i = fração molar de i
  • w_i = fração mássica de i
    Em termos de x_i e das massas molares M_i e M_j, a fração mássica fica
wi ;=;mimi+mj =ni,Mini,Mi + nj,Mj =xi,Mixi,Mi + xj,Mj,
Pra simplificar, chamo o denominador de
D ;=;xiMi+xjMj

Passo 3

Agora vamos achar d wi =d(xiMi),cdot D ;-;(xiMi),cdot dDD^2 em função de d(xi Mi)=Mi,d xi, .
Como dD =d(xiMi+xjMj) =Mi,d xi ;+;Mj,d xj , aplicamos a regra do quociente:
dD =Mi,d xi ;-;Mj,d xi =(Mi - Mj),d xi
Aqui
e
Mas como é binária, , logo . Então

Passo 4

Substituindo tudo em d wi =Mi,d xi;cdot D ;-;xiMi,(Mi-Mj),d xiD^2 =l(Mi D - xiMi(Mi-Mj)r),d xiD^2 :
MiD = Mi(xiMi + xjMj) = xiMi^2 + xjMiMj,
Vamos ver o numerador:
xiMi,(Mi - Mj) = xiMi^2 - xiMiMj
MiD - xiMi(Mi - Mj) = xiMi^2 + xjMiMj - xiMi^2 + xiMiMj = MiMj(xj + xi) = MiMj,
Subtraindo esses dois dá
d wi =MiMjD^2;d xi =MiMjl(xiMi + xjMjr)^2;d xi
pois . Então finalmente

Resposta

boxedd wi ;=;Mi,Mjl(xiMi+xjMjr)^2;d xi

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