A partir da equação de crescimento microbiano na fase exponencial, desenvolva uma expressão que permita o cálculo do tempo de duplicação da biomassa celular nesta fase e calcule este tempo para os dados fornecidos no exercício anterior.

Passo 1

Beleza, cara! O enunciado pede pra gente usar a equação de crescimento microbiano na fase exponencial, montar uma fórmula que dê o tempo de duplicação da biomassa (ou “doubling time”) e depois calcular esse tempo usando os dados do exercício anterior. O conteúdo envolvido aqui é cinética de crescimento exponencial de microrganismos, mais especificamente:
  1. A equação básica X(t) = X₀·e^(μ·t), onde μ é a taxa de crescimento específico;
  2. A definição de tempo de duplicação t_d, que é o intervalo em que X(t) fica igual a 2·X₀;
  3. Precisamos dos dados do exercício anterior (X₀, X em um dado tempo t) para extrair μ e, em seguida, achar t_d.

Passo 2

Primeiro, derivar a expressão para t_d.
Na duplicação, X(t_d) = 2·X₀. Então, da equação exponencial:
td ;=;ln 2mu
Cancela X₀ dos dois lados e fica:

Tira o log natural:

Logo, isolando t_d:
É essa a nossa fórmula geral do tempo de duplicação.

Passo 3

Agora precisamos do valor de μ, que a gente pega dos dados do exercício anterior. Supondo que lá você tinha medido a biomassa evoluindo de X₀ = 0,10 g/L para X = 0,80 g/L em t = 8 h, a gente faz:
mu = lnl(tfracXX0r)t ;=;ln(0,80/0,10)8,h ;=;ln(8)8 ;approx;2,0798 ;=;0,2599;h^-1

Passo 4

Com μ ≈ 0,2599 h⁻¹, aplica na fórmula de t_d:
td = ln 2mu = 0,69310,2599,h^-1 approx 2,67;h

Resposta

O tempo de duplicação da biomassa celular na fase exponencial é dado por
boxedtd = ln 2mu
e, usando os dados (X₀ = 0,10 g/L, X = 0,80 g/L em 8 h), obtemos
boxedtd approx 2,67;horas

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