A partir da equação de crescimento microbiano na fase exponencial, desenvolva uma expressão que permita o cálculo do tempo de duplicação da biomassa celular nesta fase e calcule este tempo para os dados fornecidos no exercício anterior.
Passo 1
Beleza, cara! O enunciado pede pra gente usar a equação de crescimento microbiano na fase exponencial, montar uma fórmula que dê o tempo de duplicação da biomassa (ou “doubling time”) e depois calcular esse tempo usando os dados do exercício anterior. O conteúdo envolvido aqui é cinética de crescimento exponencial de microrganismos, mais especificamente:
- A equação básica X(t) = X₀·e^(μ·t), onde μ é a taxa de crescimento específico;
- A definição de tempo de duplicação t_d, que é o intervalo em que X(t) fica igual a 2·X₀;
- Precisamos dos dados do exercício anterior (X₀, X em um dado tempo t) para extrair μ e, em seguida, achar t_d.
Passo 2
Primeiro, derivar a expressão para t_d.
Na duplicação, X(t_d) = 2·X₀. Então, da equação exponencial:
Cancela X₀ dos dois lados e fica:
Tira o log natural:
Logo, isolando t_d:
Na duplicação, X(t_d) = 2·X₀. Então, da equação exponencial:
Cancela X₀ dos dois lados e fica:
Tira o log natural:
Logo, isolando t_d:
É essa a nossa fórmula geral do tempo de duplicação.
Passo 3
Agora precisamos do valor de μ, que a gente pega dos dados do exercício anterior. Supondo que lá você tinha medido a biomassa evoluindo de X₀ = 0,10 g/L para X = 0,80 g/L em t = 8 h, a gente faz:
Passo 4
Com μ ≈ 0,2599 h⁻¹, aplica na fórmula de t_d:
Resposta
O tempo de duplicação da biomassa celular na fase exponencial é dado por
e, usando os dados (X₀ = 0,10 g/L, X = 0,80 g/L em 8 h), obtemos