A partir da equação fundamental para uma máquina de fluxo geradora (Eq. 3.27 no livro), obtenha a Equação abaixo, onde é possível expressar Ypáoo em função da vazão e de parâmetros construtivos do rotor. Considere um rotor radial: \alpha 4=90^{\circ} ( \mathrm{cu} 4=0 ).
Y_{p a \infty}=u_{5}^{2}-\frac{u_{5} \operatorname{cotg}\left(\beta_{5}\right)}{\pi D_{5} b_{5}} Q

Para obter a equação acima, siga a seguinte sequência:

  1. a partir do triângulo de velocidades, expresse o ângulo \beta 5 em função de cm5, u5 e cu5;
  2. Na expressão resultante, substitua o vetor cm5 pela equação da continuidade;
  3. Rearranje a expressão, isolando cu5;
  4. Substitua o resultado na Equação Fundamental.
Após a obtenção matemática da equação acima, avalie como cada parâmetro influencia na energia cedida pela máquina ao fluido e responda: como posso aumentar esta energia?
Cuidado: para análise da vazão, lembre-se que Y_{p a \infty}=P_{p a \infty} / \dot{m}

Passo 1

Resumindo o enunciado: queremos obter uma expressão para
Y_{pa\infty} = \frac{P_{pa\infty}}{\dot m}
em função da vazão volumétrica Q e dos parâmetros construtivos do rotor (diâmetro de saída D_5, altura b_5, velocidade periférica u_5) assumindo rotor radial \alpha_4=90^\circ, logo c_{u4}=0. Vamos usar:
  1. o triângulo de velocidades na saída (relacionando c_{u5},c_{m5},u_5 e \beta_5);
  2. a equação da continuidade Q=\pi D_5 b_5\,c_{m5};
  3. a equação fundamental de Euler para turbomáquinas Y_{pa\infty}=u_5\,(c_{u5}-c_{u4}).

Passo 2

Do triângulo de velocidades na saída temos
\tan\beta_5=\frac{c_{m5}}{w_{u5}} \quad\Longrightarrow\quad w_{u5}=\frac{c_{m5}}{\tan\beta_5}=c_{m5}\,\cot\beta_5
e a relação entre as componentes absoluta e relativa é
c_{u5}=u_5-w_{u5} \quad\Longrightarrow\quad c_{u5}=u_5 - c_{m5}\,\cot\beta_5.

Passo 3

Substituindo a componente meridional c_{m5} pela continuidade
Q=\pi D_5 b_5\,c_{m5} \quad\Longrightarrow\quad c_{m5}=\frac{Q}{\pi D_5 b_5},
fica
c_{u5} = u_5 \;-\;\frac{Q}{\pi D_5 b_5}\,\cot\beta_5.

Passo 4

Aplicando a equação fundamental de Euler com c_{u4}=0:
Y_{pa\infty} = u_5\,(c_{u5}-0) = u_5\;\Bigl(u_5 - \frac{Q}{\pi D_5 b_5}\,\cot\beta_5\Bigr)
e, arranjando, obtemos
\boxed{ Y_{pa\infty} = u_5^2 \;-\;\frac{u_5\,\cot\beta_5}{\pi D_5\,b_5}\;Q }.

Resposta

Y_{pa\infty} = u_5^2 \;-\;\frac{u_5\,\cot\beta_5}{\pi D_5\,b_5}\;Q.
Análise de influência dos parâmetros sobre a energia cedida Y_{pa\infty}:
  • Aumentar a velocidade periférica u_5 eleva fortemente Y_{pa\infty} (termo u_5^2).
  • Aumentar o diâmetro D_5 ou a altura b_5 reduz o coeficiente do termo em Q, ou seja, para dado Q a penalização em Y é menor.
  • Reduzir \beta_5 (menor \cot\beta_5) também diminui a sensibilidade negativa de Y ao aumento de Q.
  • Para aumentar Y_{pa\infty} basta, portanto, aumentar u_5 (isto é, elevar a rotação ou o diâmetro), incrementar D_5 ou b_5 e otimizar \beta_5 para reduzir \cot\beta_5.

Exercícios relacionados