(1,5 pontos) A distribuição de temperaturas ao longo de uma parede com espessura de 1 m , em determinado instante de tempo, é dada pela expressão \mathrm{T}(\mathrm{x})=\mathrm{a}+\mathrm{bx}+\mathrm{cx}^{5 / 2}+\mathrm{dx}^{3}, na qual T está em graus Celsius e x em metros, enquanto a=80^{\circ} \mathrm{C}, b=-50^{\circ} \mathrm{C} / \mathrm{m}, c=-5^{\circ} \mathrm{C} / \mathrm{m}^{5 / 2} e d=-10^{\circ} \mathrm{C} / \mathrm{m}^{3}. Uma geração de calor uniforme, \dot{e}_{g}=500 \mathrm{~W} / \mathrm{m}^{3}, está presente na parede, cuja área é de 10 \mathrm{~m}^{2}. O seu material apresenta as seguintes propriedades: \rho=1600 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3}, k =40 \mathrm{~W} /(\mathrm{m} \cdot \mathrm{K}) e c_{p}=4 \mathrm{~kJ} /(\mathrm{kg} \cdot \mathrm{K}).
a) Determine a taxa de transferência de calor que entra na parede ( \mathrm{x}=0 ) e que deixa a parede ( \mathrm{x}=1 \mathrm{~m} ).
b) Determine a taxa de variação da energia acumulada na parede, \dot{E}_{a c u}.
c) Determine a taxa de variação da temperatura em relação ao tempo nas posições \mathrm{x}= 0 ; 0,25 e 0,5 \mathrm{~m}.
Passo 1
O enunciado dá a distribuição de temperatura unidimensional
T(x)=a + b\,x + c\,x^{5/2} + d\,x^3
com a=80 ^\circC, b=-50 ^\circC/m, c=-5 ^\circC/m^{5/2}, d=-10 ^\circC/m^3. Há geração volumétrica uniforme \dot e_g=500,W/m^3 numa parede de espessura L=1,m e área A=10,m^2. A densidade é \rho=1600,kg/m^3, a condutividade k=40,W/(m\cdot K) e o calor específico c_p=4,kJ/(kg\cdot K).
Conteúdo aplicado:
– Lei de Fourier para fluxo de calor em regime estacionário: \dot Q_x = -k\,A\,\frac{dT}{dx}.
– Balanço energético: \dot E_{acu} = \dot Q(0) + \dot e_g V - \dot Q(L).
– Equação de condução transiente com geração:
a) \dot Q(0)=2{,}0\times10^{4} W e \dot Q(1)=3{,}7\times10^{4} W.
b) \dot E_{acu}=-1{,}2\times10^{4} W.
c) \displaystyle
\frac{\partial T}{\partial t}\Big|_{0}=+7{,}8\times10^{-5}\,\mathrm{K/s},\quad
\frac{\partial T}{\partial t}\Big|_{0{,}25}=-7{,}4\times10^{-5}\,\mathrm{K/s},\quad
\frac{\partial T}{\partial t}\Big|_{0{,}5}=-1{,}9\times10^{-4}\,\mathrm{K/s}.