A partir da equação geral da condução de calor, obter a expressão para a taxa de transferênciade calor e para a distribuição de temperatura no interior da parede de um cilindro oco empregando os seguintes contornos:
Primeira espécie dentro e terceira espécie fora.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado (assumindo notação padrão para uma casca cilíndrica):
  • Pedido: obter a expressão para a taxa de transferência de calor e para a distribuição de temperatura no interior da parede de um cilindro oco, com contorno do tipo primeira espécie no interior (temperatura prescrita) e terceira espécie no exterior (convecção com o fluido).
  • Dados (variáveis a manter simbólicas):
    • r: coordenada radial.
    • r_i: raio interno da casca cilíndrica.
    • r_o: raio externo da casca cilíndrica.
    • k: condutividade térmica da parede (assumida constante).
    • Temperatura prescrita interna: T(r_i)=T_i (condição de contorno de primeira espécie).
    • Fluido externo à temperatura ambiente T_\infty com coeficiente de convecção h na superfície externa (condição de contorno de terceira espécie).
    • Considerações físicas padrão: estado estacionário (não varia no tempo), regime unidimensional radial (não há variação em \theta nem em z), sem geração interna de calor.
  • O que vamos obter:
    • A expressão para a taxa de calor por unidade de comprimento (denotarei \dot{Q}') que atravessa a parede.
    • A distribuição de temperatura T(r) para r_i \le r \le r_o.

Passo 2

Escrevendo a equação diferencial que governa o problema (revisão didática):
  • A equação geral da condução de calor em coordenadas cilíndricas, no caso radial 1D, estado estacionário e sem geração é
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT}{dr}\right)=0.
Explanação curta: essa equação vem de aplicar conservação de energia a um anel cilíndrico de raio r; a forma \frac{1}{r}\frac{d}{dr}(r dT/dr)=0 garante que o fluxo radial neto não varia com r (fluxo constante em regime estacionário).
  • A lei de Fourier, que relaciona gradiente de temperatura com fluxo condutivo local, é
q_r(r) = -k\frac{dT}{dr},
onde q_r(r) é o fluxo térmico por unidade de área radial. O fluxo total (taxa de calor) que atravessa a superfície cilíndrica de raio r por comprimento L é
\dot{Q} = -2\pi r L k\frac{dT}{dr}.
Como estamos interessados normalmente por unidade de comprimento, definimos a taxa por comprimento
\dot{Q}'=\frac{\dot{Q}}{L} = -2\pi r k\frac{dT}{dr}.
Em regime estacionário e sem fontes, \dot{Q}' é independente de r (constante).

Passo 3

Resolver a equação diferencial reduzida por integração:
  • Partindo de
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT}{dr}\right)=0,
multiplica-se por r e integra-se:
\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT}{dr}\right)=0 \quad\Rightarrow\quad r\frac{dT}{dr}=C_1,
onde C_1 é constante de integração.
  • Isolando o derivado e integrando novamente:
\frac{dT}{dr}=\frac{C_1}{r}\quad\Rightarrow\quad T(r)=C_1\ln r + C_2,
onde C_2 é outra constante de integração.
Comentário: portanto a solução geral no intervalo r_i\le r\le r_o é uma combinação linear de \ln r e constante.

Passo 4

Aplicar a condição de contorno interna (primeira espécie) para relacionar constantes:
  • A condição interna é T(r_i)=T_i. Substituindo em T(r)=C_1\ln r + C_2:
T_i = C_1\ln r_i + C_2 \quad\Rightarrow\quad C_2 = T_i - C_1\ln r_i.
  • Logo a solução pode ser escrita como
T(r)=T_i + C_1\ln\!\left(\frac{r}{r_i}\right).
Isso já é útil porque expressa T(r) em função de C_1 e dos dados conhecíveis.

Passo 5

Aplicar a condição de contorno externa (terceira espécie, convecção) e determinar C_1:
  • A condição de terceira espécie na superfície externa r=r_o equilibra fluxo condutivo e convecção:
-k\left.\frac{dT}{dr}\right|_{r_o} = h\bigl(T(r_o)-T_\infty\bigr).
  • Calcule o derivado usando a forma T(r)=T_i + C_1\ln(r/r_i):
\frac{dT}{dr}=\frac{C_1}{r}\quad\Rightarrow\quad \left.\frac{dT}{dr}\right|_{r_o}=\frac{C_1}{r_o}.
  • Substituindo na condição de convecção:
-k\frac{C_1}{r_o} = h\bigl(T(r_o)-T_\infty\bigr).
  • Expresse T(r_o) usando a solução:
T(r_o)=T_i + C_1\ln\!\left(\frac{r_o}{r_i}\right).
  • Substituindo em cima:
-k\frac{C_1}{r_o} = h\Bigl(T_i + C_1\ln\!\left(\frac{r_o}{r_i}\right)-T_\infty\Bigr).
  • Reorganizando para isolar C_1:
-k\frac{C_1}{r_o} - h C_1\ln\!\left(\frac{r_o}{r_i}\right) = h\bigl(T_i-T_\infty\bigr).
Fatorando C_1:
C_1\left(-\frac{k}{r_o} - h\ln\!\left(\frac{r_o}{r_i}\right)\right) = h\bigl(T_i-T_\infty\bigr).
  • Finalmente,
C_1 = -\frac{h\bigl(T_i-T_\infty\bigr)}{\dfrac{k}{r_o}+h\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)}.

Passo 6

Obter a taxa de calor por unidade de comprimento \dot{Q}':
  • Lembrando que \dot{Q}'=-2\pi r k \dfrac{dT}{dr} e usando \dfrac{dT}{dr}=C_1/r, temos
\dot{Q}' = -2\pi r k\frac{C_1}{r} = -2\pi k C_1.
  • Substituindo o valor de C_1:
\dot{Q}' = -2\pi k \left(-\frac{h\bigl(T_i-T_\infty\bigr)}{\dfrac{k}{r_o}+h\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)}\right) = \frac{2\pi k h\bigl(T_i-T_\infty\bigr)}{\dfrac{k}{r_o}+h\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)}.
  • Podemos reorganizar esta expressão em forma de resistências térmicas em série (forma muito usada e intuitiva):
    • Resistência por convecção na superfície externa (por unidade de comprimento):
    R_{\text{conv}} = \frac{1}{2\pi r_o h}.
    • Resistência de condução radial da casca (por unidade de comprimento):
    R_{\text{cond}} = \frac{1}{2\pi k}\ln\!\left(\frac{r_o}{r_i}\right).
    • Soma das resistências:
    R_{\text{tot}} = R_{\text{cond}} + R_{\text{conv}}.
    • Então a taxa por comprimento pode ser escrita
    \dot{Q}' = \frac{T_i-T_\infty}{R_{\text{tot}}} = \frac{T_i-T_\infty}{\dfrac{1}{2\pi k}\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)+\dfrac{1}{2\pi r_o h}}.
Essas duas formas são algebraicamente equivalentes; a forma com resistências facilita interpretação física.

Passo 7

Escrever a distribuição de temperatura T(r) final (substituindo C_1 e C_2):
  • Usando T(r)=T_i + C_1\ln\!\left(\dfrac{r}{r_i}\right) e o C_1 encontrado,
T(r) = T_i - \frac{h\bigl(T_i-T_\infty\bigr)}{\dfrac{k}{r_o}+h\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)}\;\ln\!\left(\frac{r}{r_i}\right).
  • Alternativamente, usando a taxa \dot{Q}' já encontrada, uma escritura prática (útil para cálculos) é
T(r)=T_i - \frac{\dot{Q}'}{2\pi k}\ln\!\left(\frac{r}{r_i}\right),
onde \dot{Q}' fica dada pela expressão do Passo 6. Essa forma mostra que a queda logarítmica de temperatura é proporcional à taxa de calor.

Passo 8

Pequenas observações finais (motivação/checagem rápida):
  • Se h\to\infty (superfície externa mantida à temperatura do fluido), a condição de convecção tende a T(r_o)=T_\infty e as fórmulas colapsam para o caso Dirichlet externo com T(r_o)=T_\infty.
  • Se h\to0 (superfície isolante), a taxa \dot{Q}'\to0 como esperado.
  • Para verificar consistência dimensional: \dot{Q}' tem dimensões de potência por comprimento e T(r) tem dimensões de temperatura.

Resposta

\dot{Q}'=\frac{2\pi k h\bigl(T_i-T_\infty\bigr)}{\dfrac{k}{r_o}+h\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)} = \frac{T_i-T_\infty}{\dfrac{1}{2\pi k}\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)+\dfrac{1}{2\pi r_o h}}
T(r)=T_i - \frac{h\bigl(T_i-T_\infty\bigr)}{\dfrac{k}{r_o}+h\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)}\;\ln\!\left(\frac{r}{r_i}\right) = T_i - \frac{\dot{Q}'}{2\pi k}\ln\!\left(\frac{r}{r_i}\right)

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