A partir da equação geral da condução de calor, obter a expressão para a taxa de transferênciade calor e para a distribuição de temperatura no interior da parede de um cilindro oco empregando os seguintes contornos:
Primeira espécie dentro e terceira espécie fora.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado (assumindo notação padrão para uma casca cilíndrica):
Pedido: obter a expressão para a taxa de transferência de calor e para a distribuição de temperatura no interior da parede de um cilindro oco, com contorno do tipo primeira espécie no interior (temperatura prescrita) e terceira espécie no exterior (convecção com o fluido).
Dados (variáveis a manter simbólicas):
r: coordenada radial.
r_i: raio interno da casca cilíndrica.
r_o: raio externo da casca cilíndrica.
k: condutividade térmica da parede (assumida constante).
Temperatura prescrita interna: T(r_i)=T_i (condição de contorno de primeira espécie).
Fluido externo à temperatura ambiente T_\infty com coeficiente de convecção h na superfície externa (condição de contorno de terceira espécie).
Considerações físicas padrão: estado estacionário (não varia no tempo), regime unidimensional radial (não há variação em \theta nem em z), sem geração interna de calor.
O que vamos obter:
A expressão para a taxa de calor por unidade de comprimento (denotarei \dot{Q}') que atravessa a parede.
A distribuição de temperatura T(r) para r_i \le r \le r_o.
Passo 2
Escrevendo a equação diferencial que governa o problema (revisão didática):
A equação geral da condução de calor em coordenadas cilíndricas, no caso radial 1D, estado estacionário e sem geração é
Explanação curta: essa equação vem de aplicar conservação de energia a um anel cilíndrico de raio r; a forma \frac{1}{r}\frac{d}{dr}(r dT/dr)=0 garante que o fluxo radial neto não varia com r (fluxo constante em regime estacionário).
A lei de Fourier, que relaciona gradiente de temperatura com fluxo condutivo local, é
q_r(r) = -k\frac{dT}{dr},
onde q_r(r) é o fluxo térmico por unidade de área radial. O fluxo total (taxa de calor) que atravessa a superfície cilíndrica de raio r por comprimento L é
\dot{Q} = -2\pi r L k\frac{dT}{dr}.
Como estamos interessados normalmente por unidade de comprimento, definimos a taxa por comprimento
\dot{Q}'=\frac{\dot{Q}}{L} = -2\pi r k\frac{dT}{dr}.
Em regime estacionário e sem fontes, \dot{Q}' é independente de r (constante).
Passo 3
Resolver a equação diferencial reduzida por integração:
\frac{dT}{dr}=\frac{C_1}{r}\quad\Rightarrow\quad T(r)=C_1\ln r + C_2,
onde C_2 é outra constante de integração.
Comentário: portanto a solução geral no intervalo r_i\le r\le r_o é uma combinação linear de \ln r e constante.
Passo 4
Aplicar a condição de contorno interna (primeira espécie) para relacionar constantes:
A condição interna é T(r_i)=T_i. Substituindo em T(r)=C_1\ln r + C_2:
Obter a taxa de calor por unidade de comprimento \dot{Q}':
Lembrando que \dot{Q}'=-2\pi r k \dfrac{dT}{dr} e usando \dfrac{dT}{dr}=C_1/r, temos
\dot{Q}' = -2\pi r k\frac{C_1}{r} = -2\pi k C_1.
Substituindo o valor de C_1:
\dot{Q}' = -2\pi k \left(-\frac{h\bigl(T_i-T_\infty\bigr)}{\dfrac{k}{r_o}+h\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)}\right) = \frac{2\pi k h\bigl(T_i-T_\infty\bigr)}{\dfrac{k}{r_o}+h\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)}.
Podemos reorganizar esta expressão em forma de resistências térmicas em série (forma muito usada e intuitiva):
Resistência por convecção na superfície externa (por unidade de comprimento):
R_{\text{conv}} = \frac{1}{2\pi r_o h}.
Resistência de condução radial da casca (por unidade de comprimento):
onde \dot{Q}' fica dada pela expressão do Passo 6. Essa forma mostra que a queda logarítmica de temperatura é proporcional à taxa de calor.
Passo 8
Pequenas observações finais (motivação/checagem rápida):
Se h\to\infty (superfície externa mantida à temperatura do fluido), a condição de convecção tende a T(r_o)=T_\infty e as fórmulas colapsam para o caso Dirichlet externo com T(r_o)=T_\infty.
Se h\to0 (superfície isolante), a taxa \dot{Q}'\to0 como esperado.
Para verificar consistência dimensional: \dot{Q}' tem dimensões de potência por comprimento e T(r) tem dimensões de temperatura.
Resposta
\dot{Q}'=\frac{2\pi k h\bigl(T_i-T_\infty\bigr)}{\dfrac{k}{r_o}+h\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)} = \frac{T_i-T_\infty}{\dfrac{1}{2\pi k}\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)+\dfrac{1}{2\pi r_o h}}