A partir da equação geral da condução de calor, obter a expressão para a taxa de transferênciade calor e para a distribuição de temperatura no interior da parede de um cilindro oco empregando os seguintes contornos:
Segunda espécie dentro e primeira espécie fora;

Passo 1

O que o enunciado pede:
  • Obter a expressão para a taxa de transferência de calor através da parede de um cilindro oco.
  • Obter a expressão para a distribuição de temperatura no interior da parede.
Informações e condições fornecidas (assumidas explicitamente):
  • Cilindro oco, raios interno e externo dados por r_i e r_o.
  • Contorno na superfície interna ( r=r_i): condição de segunda espécie (Neumann) — isto é, especificado o fluxo de calor por unidade de área na superfície interna; seja esse fluxo \,q''_i (unidade: \mathrm{W/m^2}). Defino o sinal de \,q''_i como o fluxo radial positivo na direção crescente de r (ou seja, saída pela parede na direção + r).
  • Contorno na superfície externa ( r=r_o): condição de primeira espécie (Dirichlet) — temperatura prescrita na superfície externa; seja \,T(r_o)=T_o.
  • Estado estacionário (não depende do tempo), sem geração interna de calor e com condutividade térmica constante k.
  • Simetria angular e no eixo: temperatura depende apenas de r (condição unidimensional radial).
O que vou entregar:
  • A equação diferencial reduzida e sua solução geral.
  • Cálculo das constantes usando as condições de contorno dadas.
  • Expressão para T(r) e para a taxa de calor transmitida (por unidade de comprimento axial e, quando útil, para um comprimento L).

Passo 2

Equação de condução em coordenadas cilíndricas no estado estacionário, sem dependência em \theta nem em z e sem geração interna:
\frac{1}{r}\frac{d}{dr}\!\left(r\frac{dT}{dr}\right)=0.
Explicando essa equação: é a forma reduzida do balanço de energia em regime permanente para condução radial. A expressão diz que o divergente do fluxo radial se anula (fluxo conservado no elemento cilíndrico).
Integro a equação uma vez em relação a r. Como o lado direito é zero, o termo entre parênteses é constante:
r\frac{dT}{dr}=C_1,
onde C_1 é uma constante de integração. Dividindo e integrando de novo:
\frac{dT}{dr}=\frac{C_1}{r}\quad\Rightarrow\quad T(r)=C_1\ln r + C_2,
onde C_2 é outra constante de integração. Esta é a solução geral para a distribuição de temperatura em uma parede cilíndrica sem geração interna.

Passo 3

Interpretação física do fluxo radial e condição de contorno na superfície interna ( r=r_i).
Definição do fluxo radial por unidade de área (lei de Fourier em coordenadas radiais, direção positiva no sentido + r):
q_r(r) = -k\frac{dT}{dr}.
A condição de segunda espécie na superfície interna diz que o fluxo por unidade área ali é especificado:
q_r(r_i)=q''_i.
Substituo a derivada da solução geral: \dfrac{dT}{dr}=\dfrac{C_1}{r}. Logo, em r=r_i:
q''_i = q_r(r_i) = -k\left.\frac{dT}{dr}\right|_{r=r_i} = -k\frac{C_1}{r_i}.
Desse relacionamento posso obter C_1:
C_1 = -\frac{q''_i r_i}{k}.
Observação sobre sinais: se q''_i>0 segundo a convenção adotada, o calor sai para fora através da superfície interna (fluxo na direção + r). O sinal negativo em C_1 surge da definição q_r=-k\,dT/dr.

Passo 4

Aplicar a condição de contorno externa (primeira espécie) em r=r_o:
T(r_o)=T_o.
A solução geral é T(r)=C_1\ln r + C_2. Substituo C_1 já encontrado:
T(r)= -\frac{q''_i r_i}{k}\ln r + C_2.
Em r=r_o:
T_o = -\frac{q''_i r_i}{k}\ln r_o + C_2 \quad\Rightarrow\quad C_2 = T_o + \frac{q''_i r_i}{k}\ln r_o.
Substituindo C_2 de volta em T(r):
T(r)=T_o + \frac{q''_i r_i}{k}\,\ln\!\left(\frac{r_o}{r}\right).
Esta é a distribuição de temperatura dentro da parede, válida para r_i\le r\le r_o.
Em particular, a temperatura na superfície interna r=r_i vale
T_i \equiv T(r_i)=T_o + \frac{q''_i r_i}{k}\,\ln\!\left(\frac{r_o}{r_i}\right).

Passo 5

Expressões para o fluxo local e para a taxa total de calor por unidade de comprimento axial.
Derivo o fluxo radial em qualquer r:
q_r(r) = -k\frac{dT}{dr} = -k\left(\frac{C_1}{r}\right).
Substituindo C_1:
q_r(r)= -k\left(-\frac{q''_i r_i}{k}\cdot\frac{1}{r}\right)=\frac{q''_i r_i}{r}.
Note que o fluxo por unidade área varia como 1/r.
Taxa de calor por unidade de comprimento axial (potência por comprimento), \dot Q' (unidade: \mathrm{W/m}):
a potência atravessando a superfície cilíndrica de raio r por unidade de comprimento é
\dot Q' = q_r(r)\cdot(2\pi r) = \left(\frac{q''_i r_i}{r}\right)\cdot(2\pi r)=2\pi r_i q''_i.
Observe que \dot Q' é constante (independe de r), como deve ser em regime permanente sem geração interna.
Alternativamente, relacionando potência com diferença de temperaturas nas superfícies (forma equivalente da lei de condução para cilindro):
\dot Q' = 2\pi k\,\frac{T_i-T_o}{\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)}.
Se for desejado o calor total para um comprimento L do cilindro:
\dot Q = \dot Q'\,L.
Consistência: substituindo T_i obtido anteriormente em \dot Q' = 2\pi k\,(T_i-T_o)/\ln(r_o/r_i) recupera \dot Q' = 2\pi r_i q''_i, confirmando coerência.

Passo 6

Resumo físico e dicas para prova (curta e prática):
  • A equação diferencial em regime estacionário e radial leva a solução em logaritmo: T(r)=A\ln r + B.
  • Condição de segunda espécie dá a constante multiplicando \ln r (via q_r=-k dT/dr).
  • Condição de primeira espécie fixa o termo constante B.
  • A taxa de calor por unidade de comprimento pode ser dada em função do fluxo especificado na superfície interna ( \dot Q'=2\pi r_i q''_i) ou em função da diferença de temperatura entre superfícies ( \dot Q'=2\pi k (T_i-T_o)/\ln(r_o/r_i)). Use a forma mais conveniente dependendo do que é conhecido no enunciado.
Força aí — essa dedução do log é padrão; decorar o procedimento e as duas formas finais ajuda bastante na hora da prova.

Resposta

T(r)=T_o+\dfrac{q''_i r_i}{k}\,\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r}\right)
\dot Q' = 2\pi r_i q''_i \quad\text{(taxa de calor por unidade de comprimento)}
\dot Q' = 2\pi k\,\dfrac{T_i-T_o}{\ln\!\left(\dfrac{r_o}{r_i}\right)}\quad\text{(forma alternativa, com }T_i=T(r_i)\text{)}

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