A partir da equação geral da condução de calor, obter a expressão para a taxa de transferênciade calor e para a distribuição de temperatura no interior da parede de um cilindro oco empregando os seguintes contornos:
Segunda espécie dentro e primeira espécie fora;
Passo 1
O que o enunciado pede:
Obter a expressão para a taxa de transferência de calor através da parede de um cilindro oco.
Obter a expressão para a distribuição de temperatura no interior da parede.
Informações e condições fornecidas (assumidas explicitamente):
Cilindro oco, raios interno e externo dados por r_i e r_o.
Contorno na superfície interna (r=r_i): condição de segunda espécie (Neumann) — isto é, especificado o fluxo de calor por unidade de área na superfície interna; seja esse fluxo \,q''_i (unidade: \mathrm{W/m^2}). Defino o sinal de \,q''_i como o fluxo radial positivo na direção crescente de r (ou seja, saída pela parede na direção +r).
Contorno na superfície externa (r=r_o): condição de primeira espécie (Dirichlet) — temperatura prescrita na superfície externa; seja \,T(r_o)=T_o.
Estado estacionário (não depende do tempo), sem geração interna de calor e com condutividade térmica constante k.
Simetria angular e no eixo: temperatura depende apenas de r (condição unidimensional radial).
O que vou entregar:
A equação diferencial reduzida e sua solução geral.
Cálculo das constantes usando as condições de contorno dadas.
Expressão para T(r) e para a taxa de calor transmitida (por unidade de comprimento axial e, quando útil, para um comprimento L).
Passo 2
Equação de condução em coordenadas cilíndricas no estado estacionário, sem dependência em \theta nem em z e sem geração interna:
Explicando essa equação: é a forma reduzida do balanço de energia em regime permanente para condução radial. A expressão diz que o divergente do fluxo radial se anula (fluxo conservado no elemento cilíndrico).
Integro a equação uma vez em relação a r. Como o lado direito é zero, o termo entre parênteses é constante:
r\frac{dT}{dr}=C_1,
onde C_1 é uma constante de integração. Dividindo e integrando de novo:
\frac{dT}{dr}=\frac{C_1}{r}\quad\Rightarrow\quad T(r)=C_1\ln r + C_2,
onde C_2 é outra constante de integração. Esta é a solução geral para a distribuição de temperatura em uma parede cilíndrica sem geração interna.
Passo 3
Interpretação física do fluxo radial e condição de contorno na superfície interna (r=r_i).
Definição do fluxo radial por unidade de área (lei de Fourier em coordenadas radiais, direção positiva no sentido +r):
q_r(r) = -k\frac{dT}{dr}.
A condição de segunda espécie na superfície interna diz que o fluxo por unidade área ali é especificado:
q_r(r_i)=q''_i.
Substituo a derivada da solução geral: \dfrac{dT}{dr}=\dfrac{C_1}{r}. Logo, em r=r_i:
Observação sobre sinais: se q''_i>0 segundo a convenção adotada, o calor sai para fora através da superfície interna (fluxo na direção +r). O sinal negativo em C_1 surge da definição q_r=-k\,dT/dr.
Passo 4
Aplicar a condição de contorno externa (primeira espécie) em r=r_o:
T(r_o)=T_o.
A solução geral é T(r)=C_1\ln r + C_2. Substituo C_1 já encontrado:
Taxa de calor por unidade de comprimento axial (potência por comprimento), \dot Q' (unidade: \mathrm{W/m}):
a potência atravessando a superfície cilíndrica de raio r por unidade de comprimento é
Resumo físico e dicas para prova (curta e prática):
A equação diferencial em regime estacionário e radial leva a solução em logaritmo: T(r)=A\ln r + B.
Condição de segunda espécie dá a constante multiplicando \ln r (via q_r=-k dT/dr).
Condição de primeira espécie fixa o termo constante B.
A taxa de calor por unidade de comprimento pode ser dada em função do fluxo especificado na superfície interna (\dot Q'=2\pi r_i q''_i) ou em função da diferença de temperatura entre superfícies (\dot Q'=2\pi k (T_i-T_o)/\ln(r_o/r_i)). Use a forma mais conveniente dependendo do que é conhecido no enunciado.
Força aí — essa dedução do log é padrão; decorar o procedimento e as duas formas finais ajuda bastante na hora da prova.