Resolva as seguintes equações:
Passo 1
O enunciado dá a equação
O que é pedido: encontrar todos os valores de
que satisfazem essa equação. Dados relevantes que precisaremos usar:
- A base do logaritmo é
(válida porque e ). - Os argumentos dos logaritmos devem ser positivos, ou seja:
-
, -
.
-
Passo 2
Vamos tratar das condições de existência (domínio) dos logaritmos, porque qualquer solução encontrada tem de satisfazê-las.
- Da condição
obtemos
- Para
primeiro achamos as raízes da quadrática associada:
O discriminante é
As raízes são
Portanto a inequação
é satisfeita para
Como também precisamos de
, a interseção das condições fica
Observação numérica:
, então qualquer solução válida precisa ser maior que aproximadamente
.
Passo 3
Usamos a propriedade dos logaritmos que diz
sempre que
e
. Aplicando aqui:
Passo 4
Voltamos a forma exponencial para eliminar o logaritmo. A igualdade
é equivalente a
. Assim
Passo 5
Multiplicamos ambos os lados por
(lembrando que
porque
pelo domínio):
Expandindo o lado direito e levando tudo para um lado:
Passo 6
Resolvemos a quadrática. Ela fatoriza:
portanto as raízes são
Passo 7
Agora aplicamos as condições de existência do Passo 2 para filtrar soluções extranhas:
- Para
: temos , então o logaritmo não está definido. Logo é rejeitado. - Para
: verificamos as condições do domínio: -
, -
.
Portantoé admissível.
-
Também podemos conferir substituindo em toda a equação original:
confirmação ok.