Resolva as seguintes equações:
\log _{2}\left(x^{2}+2 x-7\right)-\log _{2}(x-1)=2

Passo 1

O enunciado dá a equação
\log_{2}\!\bigl(x^{2}+2x-7\bigr)-\log_{2}\!(x-1)=2.
O que é pedido: encontrar todos os valores de x que satisfazem essa equação. Dados relevantes que precisaremos usar:
  • A base do logaritmo é 2 (válida porque 2>0 e 2\neq1).
  • Os argumentos dos logaritmos devem ser positivos, ou seja:
    • x^{2}+2x-7>0,
    • x-1>0.

Passo 2

Vamos tratar das condições de existência (domínio) dos logaritmos, porque qualquer solução encontrada tem de satisfazê-las.
  1. Da condição x-1>0 obtemos
x>1.
  1. Para x^{2}+2x-7>0 primeiro achamos as raízes da quadrática associada:
x^{2}+2x-7=0.
O discriminante é
\Delta = 2^{2}-4\cdot1\cdot(-7)=4+28=32.
As raízes são
x=\frac{-2\pm\sqrt{32}}{2}=\frac{-2\pm4\sqrt{2}}{2}=-1\pm2\sqrt{2}.
Portanto a inequação x^{2}+2x-7>0 é satisfeita para
x<-1-2\sqrt{2}\quad\text{ou}\quad x>-1+2\sqrt{2}.
Como também precisamos de x>1, a interseção das condições fica
x>-1+2\sqrt{2}.
Observação numérica: -1+2\sqrt{2}\approx1{,}828, então qualquer solução válida precisa ser maior que aproximadamente 1{,}828.

Passo 3

Usamos a propriedade dos logaritmos que diz
\log_{a}A-\log_{a}B=\log_{a}\!\left(\frac{A}{B}\right)
sempre que A>0 e B>0. Aplicando aqui:
\log_{2}\!\left(\frac{x^{2}+2x-7}{x-1}\right)=2.

Passo 4

Voltamos a forma exponencial para eliminar o logaritmo. A igualdade \log_{2}(Y)=2 é equivalente a Y=2^{2}=4. Assim
\frac{x^{2}+2x-7}{x-1}=4.

Passo 5

Multiplicamos ambos os lados por x-1 (lembrando que x-1\neq0 porque x>1 pelo domínio):
x^{2}+2x-7=4(x-1).
Expandindo o lado direito e levando tudo para um lado:
x^{2}+2x-7=4x-4
x^{2}+2x-7-4x+4=0
x^{2}-2x-3=0.

Passo 6

Resolvemos a quadrática. Ela fatoriza:
x^{2}-2x-3=(x-3)(x+1)=0,
portanto as raízes são
x=3\quad\text{e}\quad x=-1.

Passo 7

Agora aplicamos as condições de existência do Passo 2 para filtrar soluções extranhas:
  • Para x=-1: temos x-1=-2\le0, então o logaritmo \log_{2}(x-1) não está definido. Logo x=-1 é rejeitado.
  • Para x=3: verificamos as condições do domínio:
    • x-1=2>0,
    • x^{2}+2x-7=9+6-7=8>0.
      Portanto x=3 é admissível.
Também podemos conferir substituindo em toda a equação original:
\log_{2}\!(3^{2}+2\cdot3-7)-\log_{2}(3-1)=\log_{2}(8)-\log_{2}(2)=3-1=2,
confirmação ok.

Resposta

x=3

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