A partir das equações de Maxwell (10 a 13), obtenha a equação de conservação da carga
Passo 1
Beleza, o enunciado pede para a gente usar as equações de Maxwell (especificamente Gauss e Ampère–Maxwell) e tirar dali a tal da equação de conservação de carga:
Conteúdo: eletromagnetismo (Maxwell) e cálculo vetorial (operações de divergência e rotação). Vamos precisar das formas diferenciais de Gauss e Ampère–Maxwell e de uma identidade de vetores.
Passo 2
Primeiro, recordando as duas equações que vamos usar:
- Lei de Gauss para o campo elétrico
- Lei de Ampère com correção de Maxwell
Explicando: a segunda diz que a rotação de B está ligada à densidade de corrente J e à variação no tempo de E.
Passo 3
Agora, um truque de cálculo vetorial: a identidade
sempre vale. Então vamos aplicar “divergência” nos dois lados da Ampère–Maxwell:
Pela identidade, o lado esquerdo é zero:
Passo 4
Como
é constante, dividimos tudo por
:
E mais: a divergência da derivada no tempo é a derivada no tempo da divergência (contanto que tudo seja bem comportado):
[
\vec{\nabla}\cdot\bigl(\partial_t \vec{E}\bigr)
\partial_t\bigl(\vec{\nabla}\cdot \vec{E}\bigr).
]
]
Então
Passo 5
Agora é a hora de usar Gauss (
):
[
\partial_t\bigl(\vec{\nabla}\cdot \vec{E}\bigr)
\partial_t\Bigl(\frac{\rho}{\varepsilon_0}\Bigr)
\frac{1}{\varepsilon_0},\partial_t \rho.
]
]
Substituindo na equação do Passo 4: