A partir das equações de Maxwell (10 a 13), obtenha a equação de conservação da carga
partial rhopartial t+nabla cdot J=0

Passo 1

Beleza, o enunciado pede para a gente usar as equações de Maxwell (especificamente Gauss e Ampère–Maxwell) e tirar dali a tal da equação de conservação de carga:
partial rhopartial t + nablacdot J = 0
Conteúdo: eletromagnetismo (Maxwell) e cálculo vetorial (operações de divergência e rotação). Vamos precisar das formas diferenciais de Gauss e Ampère–Maxwell e de uma identidade de vetores.

Passo 2

Primeiro, recordando as duas equações que vamos usar:
  1. Lei de Gauss para o campo elétrico
nablacdot E = rhovarepsilon0
  1. Lei de Ampère com correção de Maxwell
nablatimes B = mu0 ,J ;+;mu0varepsilon0,partial Epartial t
Explicando: a segunda diz que a rotação de B está ligada à densidade de corrente J e à variação no tempo de E.

Passo 3

Agora, um truque de cálculo vetorial: a identidade
nablacdotl(nablatimes Br)=0
sempre vale. Então vamos aplicar “divergência” nos dois lados da Ampère–Maxwell:
nablacdot(nablatimes B) ;=; nablacdotl(mu0 J + mu0varepsilon0,partialt Er)
Pela identidade, o lado esquerdo é zero:
0 = mu0,nablacdot J ;+;mu0varepsilon0;nablacdotl(partialt Er)

Passo 4

Como 0 = nablacdot J + varepsilon0,nablacdotl(partialt Er) é constante, dividimos tudo por nablacdotl(partialt Er) = partialtl(nablacdot Er) :
0 = nablacdot J + varepsilon0,partialtl(nablacdot Er)
E mais: a divergência da derivada no tempo é a derivada no tempo da divergência (contanto que tudo seja bem comportado):

[
\vec{\nabla}\cdot\bigl(\partial_t \vec{E}\bigr)

\partial_t\bigl(\vec{\nabla}\cdot \vec{E}\bigr).
]
Então

Passo 5

Agora é a hora de usar Gauss ( partialtl(nablacdot Er) = partialtl(rhovarepsilon0r) = 1varepsilon0,partialt rho ):

[
\partial_t\bigl(\vec{\nabla}\cdot \vec{E}\bigr)

\partial_t\Bigl(\frac{\rho}{\varepsilon_0}\Bigr)

\frac{1}{\varepsilon_0},\partial_t \rho.
]
Substituindo na equação do Passo 4:
0 = nablacdot J + varepsilon0 !times! 1varepsilon0,partialt rho longrightarrow 0 = nablacdot J + partialt rho

Resposta

boxedpartial rhopartial t + nablacdot J = 0

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