A partir das equações de Maxwell ( 12 a 15), obtenha a equação de conservação da carga
\frac{\partial \rho}{\partial t}+\vec{\nabla} \cdot \vec{J}=0

Passo 1

O enunciado pede para, a partir das quatro equações de Maxwell em forma diferencial, deduzir a equação de conservação de carga (continuidade), que é
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec{\nabla}\cdot\vec{J} = 0.
O conteúdo que vamos usar envolve as equações de Maxwell e a identidade vetorial \vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}\times \mathbf{A})=0.

Passo 2

Escrevendo as equações de Maxwell no vácuo (ou em meio linear) em forma diferencial:
\vec{\nabla}\cdot\vec{D} = \rho
\vec{\nabla}\cdot\vec{B} = 0
\vec{\nabla}\times\vec{E} = -\frac{\partial \vec{B}}{\partial t}
\vec{\nabla}\times\vec{H} = \vec{J} + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}

Passo 3

Aplicamos a divergência na equação de Maxwell–Ampère
\vec{\nabla}\times\vec{H} = \vec{J} + \frac{\partial \vec{D}}{\partial t}.

Passo 4

Pela identidade vetorial \vec{\nabla}\cdot(\vec{\nabla}\times\vec{H})=0, o lado esquerdo some, restando
0 = \vec{\nabla}\cdot\vec{J} \;+\;\vec{\nabla}\cdot\frac{\partial \vec{D}}{\partial t}.

Passo 5

Permutando derivada e divergência:
\vec{\nabla}\cdot\frac{\partial \vec{D}}{\partial t} = \frac{\partial}{\partial t}\bigl(\vec{\nabla}\cdot\vec{D}\bigr).
Logo
0 = \vec{\nabla}\cdot\vec{J} + \frac{\partial}{\partial t}\bigl(\vec{\nabla}\cdot\vec{D}\bigr).

Passo 6

Substituímos a lei de Gauss para \vec{D}, ou seja \vec{\nabla}\cdot\vec{D}=\rho. Assim
0 = \vec{\nabla}\cdot\vec{J} + \frac{\partial \rho}{\partial t}.

Passo 7

Reordenando os termos, chega-se à equação de conservação de carga (continuidade):
\frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec{\nabla}\cdot\vec{J} = 0.

Resposta

\frac{\partial \rho}{\partial t} + \vec{\nabla}\cdot\vec{J} = 0

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