Prove que o período do pêndulo será dado por
T=2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}},
na qual l é o comprimento do fio e g a aceleração da gravidade.

Passo 1

O enunciado pede que mostremos que, para um pêndulo simples de comprimento l sob aceleração da gravidade g, o período de pequenas oscilações é
T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}.
O conteúdo envolve Dinâmica de rotação (torque e momento de inércia), aproximação de pequenos ângulos e reconhecimento de um Movimento Harmônico Simples (MHS).

Passo 2

Escrevemos a segunda lei de Newton em forma rotacional. O peso m g aplicada ao corpo gera um torque em relação ao ponto de suspensão, de módulo
\tau = -\,m g\,l\sin\theta,
sendo o sinal “–” indicativo de força restauradora. O momento de inércia de um ponto material a distância l é
I = m\,l^2,
logo a lei I\,\alpha = \sum\tau
m\,l^2\,\ddot\theta = -\,m g\,l\sin\theta \quad\Longrightarrow\quad \ddot\theta + \frac{g}{l}\,\sin\theta = 0.

Passo 3

Para pequenas oscilações ( \theta\ll1 rad), faz-se a aproximação
\sin\theta \approx \theta.
Assim a equação diferencial não‐linear fica linear:
\ddot\theta + \frac{g}{l}\,\theta = 0,
que é exatamente a equação característica de um MHS de frequência angular
\omega = \sqrt{\frac{g}{l}}.

Passo 4

Num MHS padrão
\ddot x + \omega^2 x = 0
o período é
T = \frac{2\pi}{\omega}.
Substituindo \omega = \sqrt{g/l} obtém-se
T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}.

Resposta

T = 2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}.

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