Prove que o período do pêndulo será dado por
na qual
é o comprimento do fio e
a aceleração da gravidade.
Passo 1
O enunciado pede que mostremos que, para um pêndulo simples de comprimento
sob aceleração da gravidade
, o período de pequenas oscilações é
O conteúdo envolve Dinâmica de rotação (torque e momento de inércia), aproximação de pequenos ângulos e reconhecimento de um Movimento Harmônico Simples (MHS).
Passo 2
Escrevemos a segunda lei de Newton em forma rotacional. O peso
aplicada ao corpo gera um torque em relação ao ponto de suspensão, de módulo
sendo o sinal “–” indicativo de força restauradora. O momento de inércia de um ponto material a distância
é
logo a lei
dá
Passo 3
Para pequenas oscilações (
rad), faz-se a aproximação
Assim a equação diferencial não‐linear fica linear:
que é exatamente a equação característica de um MHS de frequência angular
Passo 4
Num MHS padrão
o período é
Substituindo
obtém-se