A partir das equações de Maxwell em sua forma diferencial, demonstre que os campos vetoriais elétrico e magnético se propagam no espaço e no tempo como uma onda de velocidade
, no vácuo.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, a partir das equações de Maxwell em sua forma diferencial no vácuo, que os campos elétrico
e magnético
satisfazem uma equação de onda que se propaga com velocidade
. Vamos usar as equações de Maxwell sem carga nem corrente e calcular derivadas espaciais e temporais adequadas para obter a forma
(e idem para
).
Passo 2
As equações de Maxwell no vácuo valem
Passo 3
Aplicamos o operador rotacional ao lado esquerdo de
ficando
Como derivada temporal e rotacional comutam,
Passo 4
Substituímos
pela lei de Ampère–Maxwell:
Passo 5
Usamos a identidade vetorial
e como
no vácuo, obtemos
Logo a equação vira
Passo 6
Reconhecemos que
de modo que a equação acima se reescreve como
que é exatamente a equação de onda para
.
Passo 7
De modo completamente análogo, aplicando o rotacional em
e usando a identidade vetorial junto com ,
obtemos
e usando a identidade vetorial junto com
obtemos
que é a equação de onda para
.
Resposta
As equações de Maxwell em vácuo levam a
mostrando que
e
se propagam como ondas de velocidade