A partir das equações de Maxwell em sua forma diferencial, demonstre que os campos vetoriais elétrico e magnético se propagam no espaço e no tempo como uma onda de velocidade c, no vácuo.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, a partir das equações de Maxwell em sua forma diferencial no vácuo, que os campos elétrico \mathbf{E} e magnético \mathbf{B} satisfazem uma equação de onda que se propaga com velocidade c. Vamos usar as equações de Maxwell sem carga nem corrente e calcular derivadas espaciais e temporais adequadas para obter a forma \nabla^2\mathbf{E} = (1/c^2)\,\partial^2\mathbf{E}/\partial t^2 (e idem para \mathbf{B}).

Passo 2

As equações de Maxwell no vácuo valem
\nabla\cdot\mathbf{E}=0, \quad \nabla\cdot\mathbf{B}=0,
\nabla\times\mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t},
\nabla\times\mathbf{B} = \mu_0\,\epsilon_0\,\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}.

Passo 3

Aplicamos o operador rotacional ao lado esquerdo de
\nabla\times\mathbf{E} = -\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t},
ficando
\nabla\times\bigl(\nabla\times\mathbf{E}\bigr) = -\,\nabla\times\frac{\partial\mathbf{B}}{\partial t}.
Como derivada temporal e rotacional comutam,
\nabla\times\bigl(\nabla\times\mathbf{E}\bigr) = -\,\frac{\partial}{\partial t}\bigl(\nabla\times\mathbf{B}\bigr).

Passo 4

Substituímos \nabla\times\mathbf{B} pela lei de Ampère–Maxwell:
\nabla\times\bigl(\nabla\times\mathbf{E}\bigr) = -\,\mu_0\,\epsilon_0\, \frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}.

Passo 5

Usamos a identidade vetorial
\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E}) = \nabla(\nabla\cdot\mathbf{E}) - \nabla^2\mathbf{E},
e como \nabla\cdot\mathbf{E}=0 no vácuo, obtemos
\nabla\times(\nabla\times\mathbf{E}) = -\,\nabla^2\mathbf{E}.
Logo a equação vira
-\,\nabla^2\mathbf{E} = -\,\mu_0\,\epsilon_0\, \frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2} \quad\Longrightarrow\quad \nabla^2\mathbf{E} = \mu_0\,\epsilon_0\, \frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}.

Passo 6

Reconhecemos que
c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\,\epsilon_0}},
de modo que a equação acima se reescreve como
\nabla^2\mathbf{E} = \frac{1}{c^2}\, \frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2},
que é exatamente a equação de onda para \mathbf{E}.

Passo 7

De modo completamente análogo, aplicando o rotacional em
\nabla\times\mathbf{B}=\mu_0\,\epsilon_0\,\partial\mathbf{E}/\partial t
e usando a identidade vetorial junto com \nabla\cdot\mathbf{B}=0,
obtemos
\nabla^2\mathbf{B} = \frac{1}{c^2}\, \frac{\partial^2\mathbf{B}}{\partial t^2},
que é a equação de onda para \mathbf{B}.

Resposta

As equações de Maxwell em vácuo levam a
\nabla^2\mathbf{E} = \frac{1}{c^2}\, \frac{\partial^2\mathbf{E}}{\partial t^2}, \qquad \nabla^2\mathbf{B} = \frac{1}{c^2}\, \frac{\partial^2\mathbf{B}}{\partial t^2},
mostrando que \mathbf{E} e \mathbf{B} se propagam como ondas de velocidade
c = \frac{1}{\sqrt{\mu_0\,\epsilon_0}}.

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