Questão ( 1,5 \mathrm{pt} )
35.13 •• Duas fendas muito estreitas estão a uma distância de 1,80 \mu \mathrm{~m} uma da outra e a 35.0 cm de um anteparo. Qual é a distância entre a primeira e a segunda linhas escuras da figura de interferência quando as fendas são iluminadas com luz coerente de \lambda=550 \mathrm{~nm} ? (Dica: o ângulo \theta na Equação 35.5 não é pequeno.)

Passo 1

O enunciado trata de interferência em duas fendas paralelas separadas por d=1{,}80\\ \mu\mathrm{m}, iluminadas por luz de comprimento de onda \lambda=550\\ \mathrm{nm}. O anteparo está a uma distância L=35{,}0\\ \mathrm{cm}. Pede-se a distância entre a primeira e a segunda franjas escuras. Para resolver, vamos usar a condição de mínimo de intensidade em dupla fenda
d\,\sin\theta = \bigl(m + \tfrac12\bigr)\,\lambda,
e depois calcular a posição y no anteparo por
y = L\,\tan\theta.
Como os ângulos não são pequenos, não podemos usar \tan\theta\approx\theta.

Passo 2

Identificamos os índices dos mínimos:
– Primeiro mínimo (m =0):
d\,\sin\theta_1 = \bigl(0+\tfrac12\bigr)\,\lambda = \tfrac12\,\lambda \quad\Longrightarrow\quad \sin\theta_1 = \frac{\lambda}{2\,d}.
Substituindo \lambda=550\\ \mathrm{nm} e d=1{,}80\\ \mu\mathrm{m}:
\sin\theta_1 = \frac{550\times10^{-9}}{2\,(1{,}80\times10^{-6})} =0{,}1528 \quad\Longrightarrow\quad \theta_1 = \arcsin(0{,}1528)\approx8{,}79^\circ.

Passo 3

Segundo mínimo (m =1):
d\,\sin\theta_2 = \bigl(1+\tfrac12\bigr)\,\lambda = \tfrac32\,\lambda \quad\Longrightarrow\quad \sin\theta_2 = \frac{3\,\lambda}{2\,d}.
Calculando:
\sin\theta_2 = \frac{3\,(550\times10^{-9})}{2\,(1{,}80\times10^{-6})} =0{,}4583 \quad\Longrightarrow\quad \theta_2 = \arcsin(0{,}4583)\approx27{,}3^\circ.

Passo 4

Agora encontramos as posições verticais no anteparo usando y=L\tan\theta, com L=0{,}35\\ \mathrm{m}:
y_1 = 0{,}35\,\tan(8{,}79^\circ)\approx0{,}35\,(0{,}1546)=0{,}0541\\ \mathrm{m},
y_2 = 0{,}35\,\tan(27{,}3^\circ)\approx0{,}35\,(0{,}5167)=0{,}1808\\ \mathrm{m}.

Passo 5

A distância entre a primeira e a segunda linhas escuras é
\Delta y = y_2 - y_1 = 0{,}1808 - 0{,}0541 = 0{,}1267\\ \mathrm{m} \approx12{,}7\\ \mathrm{cm}.

Resposta

A distância entre a primeira e a segunda linha escura é aproximadamente 12{,}7\\ \mathrm{cm}.

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