Logo |x|\ge 0\] para todo \(x, e |x|=0 sse x=0. Também vale a identidade |x|^2=x^2 para todo x.
Passo 2
Estratégia geral e observação útil (por que podemos “quadrar” sem problema).
Tanto |a+b| quanto |a|+|b| são números não-negativos. Quando duas quantidades não-negativas X e Y satisfazem X^2\le Y^2 então automaticamente X\le Y. Por isso é permitido trabalhar com quadrados para comparar |a+b| e |a|+|b|: provaremos a desigualdade ao mostrar que os quadrados obedecem a uma desigualdade.
Além disso usaremos a propriedade básica |ab|=|a||b| e o fato óbvio que para todo número real t vale t\le |t| (pois |t| é a distância de t a 0).
Passo 3
Prova detalhada da desigualdade (a) |a+b|\le |a|+|b|.
Começamos quadrando ambos os lados (justificado porque ambos são \ge 0):
|a+b|^2 \le (|a|+|b|)^2
e mostramos que isso é verdadeiro.
Calculemos cada lado:
|a+b|^2=(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,
(|a|+|b|)^2=|a|^2+2|a||b|+|b|^2=a^2+2|a||b|+b^2,
onde usamos |a|^2=a^2 e |b|^2=b^2.
Subtraindo as duas expressões obtemos
(|a|+|b|)^2-|a+b|^2=2\big(|a||b|-ab\big).
Agora note que |a||b|=|ab| e, para qualquer número real t, tem-se t\le |t|. Aplicando isso a t=ab dá ab\le |ab|=|a||b|. Portanto |a||b|-ab\ge 0, e assim a diferença acima é \ge 0. Logo
(|a|+|b|)^2 \ge |a+b|^2,
e, como ambos os lados são não-negativos, concluímos
|a+b|\le |a|+|b|.
Comentário didático rápido: essa é a famosa desigualdade triangular (ou desigualdade do triângulo) no caso de números. A intuição geométrica é que a distância direta entre 0 e a+b não pode ser maior que seguir primeiro até a e depois até a+b (que é andar mais um trecho de comprimento |b|).
Passo 4
Prova detalhada da desigualdade (b) ||a|-|b||\le |a-b| usando (a).
Usamos (a) com escolhas inteligentes. A desigualdade (a) vale para quaisquer inteiros; escolha x=a-b e y=b. Então, aplicando (a),
| (a-b) + b | \le |a-b| + |b|.
Mas (a-b)+b=a, então a desigualdade fica
|a| \le |a-b| + |b|.
Subtraindo |b| de ambos os lados obtemos
|a|-|b| \le |a-b|.
Agora troque os papéis de a e b. Pelo mesmo raciocínio teremos
|b|-|a| \le |b-a| = |a-b|.
Essas duas desigualdades juntas dão
-|a-b| \le |a|-|b| \le |a-b|.
Isto é exatamente a afirmação
||a|-|b||\le |a-b|.
Comentário didático: a desigualdade (b) diz que a diferença entre os comprimentos |a| e |b| não pode ser maior que a distância entre a e b. Novamente, é uma interpretação geométrica de distâncias na reta.
Passo 5
Exemplos numéricos rápidos para fixar a ideia.
Exemplo 1: a=3, b=-5.|a+b|=|3+(-5)|=|{-2}|=2,
|a|+|b|=3+5=8,
então 2\le 8 confirma (a).
Para (b):
||a|-|b||=|3-5|=2,\qquad |a-b|=|3-(-5)|=|8|=8,
então 2\le 8 confirma (b).
Exemplo 2: a=4, b=6 (mesmo sinal).|a+b|=|10|=10,\qquad |a|+|b|=4+6=10,aqui temos igualdade em (a) (isto ocorre quando a e b têm o mesmo sinal).
E para (b):||a|-|b||=|4-6|=2,\qquad |a-b|=|4-6|=2,também igualdade em (b).
Passo 6
Palavras finais e incentivo.
Pronto — as duas desigualdades foram demonstradas com argumentos curtos e sólidos: (a) por quadratura e comparação de termos, e (b) deduzida a partir de (a) com escolhas adequadas. Se você está com pressa para a prova, memorize a prova da (a) (a ideia de quadrar e usar |ab|=|a||b|) e o truque de obter (b) aplicando (a) a a=(a-b)+b. Você está indo bem — pratique mais alguns exemplos e isso vai fixar na cabeça. Boa sorte!