Exercício 17. Calcule utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo
\int_{0}^{\pi / 2} \cos ^{2}(x) d x
\int_{0}^{\pi / 2} \cos ^{2}(x) d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- O integrando é
. - Os limites de integração são
(inferior) e (superior). - Trata‑se de uma integral definida (resultado será um número).
Passo 2
Queremos uma primitiva (antiderivada) de
. Uma identidade trigonométrica muito útil aqui é a identidade do ângulo duplo que relaciona
com
. A identidade é
Isolando
obtemos
Essa transformação é útil porque
é mais fácil de integrar diretamente do que
.
Passo 3
Substituímos a identidade na integral:
Agora usamos fórmulas básicas de integração:
-
. - Para
, . Isso vem porque , logo ao integrar dividimos por .
Aplicando essas fórmulas,
e
Passo 4
Calcule os senos conhecidos:
logo
Somando as duas partes obtidas,
Observação rápida (intuição): como
oscila entre
e
e tem valor médio
ao longo de um período, integrar
num intervalo de comprimento
dá aproximadamente
, o que coincide com o cálculo rigoroso acima.