Exercício 17. Calcule utilizando o Teorema Fundamental do Cálculo
\int_{0}^{\pi / 2} \cos ^{2}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{\pi/2} \cos^{2}(x)\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é \cos^{2}(x).
  • Os limites de integração são 0 (inferior) e \pi/2 (superior).
  • Trata‑se de uma integral definida (resultado será um número).

Passo 2

Queremos uma primitiva (antiderivada) de \cos^{2}(x). Uma identidade trigonométrica muito útil aqui é a identidade do ângulo duplo que relaciona \cos^{2} com \cos(2x). A identidade é
\cos(2x)=2\cos^{2}(x)-1.
Isolando \cos^{2}(x) obtemos
\cos^{2}(x)=\frac{1+\cos(2x)}{2}.
Essa transformação é útil porque \cos(2x) é mais fácil de integrar diretamente do que \cos^{2}(x).

Passo 3

Substituímos a identidade na integral:
\int_{0}^{\pi/2} \cos^{2}(x)\,dx = \int_{0}^{\pi/2} \frac{1+\cos(2x)}{2}\,dx = \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2} 1\,dx + \frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2} \cos(2x)\,dx.
Agora usamos fórmulas básicas de integração:
  • \displaystyle \int 1\,dx = x + C.
  • Para a\neq 0, \displaystyle \int \cos(ax)\,dx = \frac{1}{a}\sin(ax) + C. Isso vem porque \frac{d}{dx}\sin(ax)=a\cos(ax), logo ao integrar dividimos por a.
Aplicando essas fórmulas,
\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2} 1\,dx = \frac{1}{2}\bigl[x\bigr]_{0}^{\pi/2} = \frac{1}{2}\cdot\frac{\pi}{2}=\frac{\pi}{4},
e
\frac{1}{2}\int_{0}^{\pi/2} \cos(2x)\,dx = \frac{1}{2}\left[\frac{1}{2}\sin(2x)\right]_{0}^{\pi/2} = \frac{1}{4}\bigl(\sin(\pi)-\sin(0)\bigr).

Passo 4

Calcule os senos conhecidos:
\sin(\pi)=0,\qquad \sin(0)=0,
logo
\frac{1}{4}\bigl(\sin(\pi)-\sin(0)\bigr)=\frac{1}{4}(0-0)=0.
Somando as duas partes obtidas,
\int_{0}^{\pi/2} \cos^{2}(x)\,dx = \frac{\pi}{4} + 0 = \frac{\pi}{4}.
Observação rápida (intuição): como \cos^{2}(x) oscila entre 0 e 1 e tem valor médio 1/2 ao longo de um período, integrar \cos^{2} num intervalo de comprimento \pi/2 dá aproximadamente (\pi/2)\cdot(1/2)=\pi/4, o que coincide com o cálculo rigoroso acima.

Resposta

\dfrac{\pi}{4}

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