A partir da matriz de cofatores, determine a inversa de cada uma das matrizes abaixo:
\left(\begin{array}{lll}1 & -2 & 1 \\\\ 2 & -1 & 4 \\\\ 3 & -3 & 2\end{array}\right)

Passo 1

O enunciado nos pede a inversa de
A = \begin{pmatrix} 1 & -2 & 1\\\\ 2 & -1 & 4\\\\ 3 & -3 & 2 \end{pmatrix}
usando a matriz de cofatores. Para isso, precisamos calcular o determinante de A, depois todos os cofatores C_{ij}, montar a matriz de cofatores C, transpor para obter \mathrm{adj}(A) e, por fim, usar
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\mathrm{adj}(A).

Passo 2

Calculamos o determinante de A por regra de Sarrus ou Laplace na primeira linha:
\det(A) =1\bigl((-1)\cdot2 - 4\cdot(-3)\bigr) -(-2)\bigl(2\cdot2 - 4\cdot3\bigr) +1\bigl(2\cdot(-3) - (-1)\cdot3\bigr).
Dentro dos parênteses temos
(-1)\cdot2 - 4\cdot(-3) = -2 +12 =10,
2\cdot2 - 4\cdot3 =4 -12 = -8,
2\cdot(-3) -(-1)\cdot3 = -6+3 = -3.
Logo
\det(A) = 1\cdot10 -(-2)\cdot(-8)+1\cdot(-3) =10 -16 -3 = -9.

Passo 3

Agora vamos aos cofatores C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}, onde M_{ij} é o menor de ordem 2 obtido eliminando linha i e coluna j:
C_{11}= +\det\!\begin{pmatrix}-1 & 4 \\\\ -3 & 2\end{pmatrix} = +\bigl((-1)\cdot2 - 4\cdot(-3)\bigr)=10,
C_{12}= -\det\!\begin{pmatrix}2 & 4 \\\\ 3 & 2\end{pmatrix} = -\bigl(2\cdot2 - 4\cdot3\bigr)= -(-8)=8,
C_{13}= +\det\!\begin{pmatrix}2 & -1 \\\\ 3 & -3\end{pmatrix} = +\bigl(2\cdot(-3) -(-1)\cdot3\bigr)= -3,
C_{21}= -\det\!\begin{pmatrix}-2 & 1 \\\\ -3 & 2\end{pmatrix} = -\bigl((-2)\cdot2 -1\cdot(-3)\bigr)= -(-1)=1,
C_{22}= +\det\!\begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 3 & 2\end{pmatrix} = +\bigl(1\cdot2 -1\cdot3\bigr)= -1,
C_{23}= -\det\!\begin{pmatrix}1 & -2 \\\\ 3 & -3\end{pmatrix} = -\bigl(1\cdot(-3) -(-2)\cdot3\bigr)= -\bigl(-3+6\bigr)= -3,
C_{31}= +\det\!\begin{pmatrix}-2 & 1 \\\\ -1 & 4\end{pmatrix} = +\bigl((-2)\cdot4 -1\cdot(-1)\bigr)= -7,
C_{32}= -\det\!\begin{pmatrix}1 & 1 \\\\ 2 & 4\end{pmatrix} = -\bigl(1\cdot4 -1\cdot2\bigr)= -2,
C_{33}= +\det\!\begin{pmatrix}1 & -2 \\\\ 2 & -1\end{pmatrix} = +\bigl(1\cdot(-1) -(-2)\cdot2\bigr)=3.
Assim a matriz de cofatores é
C = \begin{pmatrix} 10 & 8 & -3\\\\ 1 & -1 & -3\\\\ -7 & -2 & 3 \end{pmatrix}.

Passo 4

A adjunta de A é a transposta de C:
\mathrm{adj}(A) = C^T = \begin{pmatrix} 10 & 1 & -7\\\\ 8 & -1 & -2\\\\ -3 & -3 & 3 \end{pmatrix}.

Passo 5

Finalmente,
A^{-1} = \frac{1}{\det(A)}\,\mathrm{adj}(A) = \frac{1}{-9} \begin{pmatrix} 10 & 1 & -7\\\\ 8 & -1 & -2\\\\ -3 & -3 & 3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -\tfrac{10}{9} & -\tfrac{1}{9} & \tfrac{7}{9}\\[6pt] -\tfrac{8}{9} & \tfrac{1}{9} & \tfrac{2}{9}\\[6pt] \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{3} \end{pmatrix}.]

Resposta

A^{-1} = \begin{pmatrix} -\tfrac{10}{9} & -\tfrac{1}{9} & \tfrac{7}{9}\\\\ -\tfrac{8}{9} & \tfrac{1}{9} & \tfrac{2}{9}\\\ \tfrac{1}{3} & \tfrac{1}{3} & -\tfrac{1}{3} \end{pmatrix}.

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