A partir das operações não usuais e definidas em cada um dos itens, determine se o conjunto é um Espaço Vetorial. Se não for, identifique TODOS os axiomas que não são válidos.
Adição: Multiplicação por um escalar:
Passo 1
O enunciado define em a “adição”
e a multiplicação por escalar
Queremos ver se, com essas operações, satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre .
Passo 2
Verificando as propriedades da adição: 1. Fechamento: para quaisquer , . OK. 2. Comutatividade: . OK. 3. Associatividade?
Considere
Em geral l|,|x1+x2|+x3r|neql|x1+|x2+x3|r|. Logo, falha associatividade. 4. Existência de elemento neutro 0: precisaríamos de (ex,ey) tal que l(|x+ex|,|y+ey|r)=(x,y) para todo (x,y). Mas |x+ex|=x não vale para x<0. Logo, não existe neutro aditivo. 5. Existência de inverso aditivo: depende do neutro; como este não existe para todo vetor, o axioma de inverso também não vale no sentido de espaço vetorial.
Passo 3
Verificando a multiplicação escalar: 6. Fechamento: (2c x,2c y)inR^2. OK. 7. Associatividade escalar?
Em geral 2c|xu+xv|neq|2c(xu+xv)| para sinais arbitrários; portanto, falha distributividade em relação à soma de vetores. 10.(c+d),u=(2(c+d)x,2(c+d)y)
versus
Também falha distributividade em relação à soma de escalares.
Passo 5
Como vários axiomas não são satisfeitos, R^2 com essas operações não é espaço vetorial.
Resposta
Não é espaço vetorial. Os axiomas inválidos são:
– Associatividade da adição;
– Existência de elemento neutro aditivo;
– Existência de inverso aditivo;
– Associatividade da multiplicação escalar;
– Existência de 1 como escalar neutro;
– Distributividade da multiplicação escalar sobre soma de vetores;
– Distributividade da multiplicação escalar sobre soma de escalares.