A partir das operações não usuais e definidas em cada um dos itens, determine se o conjunto R^2 é um Espaço Vetorial. Se não for, identifique TODOS os axiomas que não são válidos.
Adição: (x1, y1)+(x2, y2)=(|x1+x2|,|y1+y2|) / Multiplicação por um escalar: c(x1, y1)=(2 c x1, 2 c y1), com c in R

Passo 1

O enunciado define em R^2 a “adição”
(x1,y1)+(x2,y2)=l(|x1+x2|,;|y1+y2|r)
e a multiplicação por escalar
c,(x1,y1)=l(2c,x1,;2c,y1r),
Queremos ver se, com essas operações, R^2 satisfaz todos os axiomas de espaço vetorial sobre R.

Passo 2

Verificando as propriedades da adição:
1. Fechamento: para quaisquer (xi,yi)inR^2, l(|x1+x2|,|y1+y2|r)inR^2. OK.
2. Comutatividade: l(|x1+x2|,|y1+y2|r)=l(|x2+x1|,|y2+y1|r). OK.
3. Associatividade?
Considere
l((x1,y1)+(x2,y2)r)+(x3,y3) =l(,l|,|x1+x2|+x3r|,dotsr)
e
(x1,y1)+l((x2,y2)+(x3,y3)r) =l(,l|x1+|x2+x3|r|,dotsr)
Em geral l|,|x1+x2|+x3r|neql|x1+|x2+x3|r|. Logo, falha associatividade.
4. Existência de elemento neutro 0: precisaríamos de (ex,ey) tal que
l(|x+ex|,|y+ey|r)=(x,y) para todo (x,y). Mas |x+ex|=x não vale para x<0. Logo, não existe neutro aditivo.
5. Existência de inverso aditivo: depende do neutro; como este não existe para todo vetor, o axioma de inverso também não vale no sentido de espaço vetorial.

Passo 3

Verificando a multiplicação escalar:
6. Fechamento: (2c x,2c y)inR^2. OK.
7. Associatividade escalar?
c(d(x,y))=cl(2d x,2d yr)=l(2ccdot2d,x,;2ccdot2d,yr)=(4cd,x,4cd,y),
enquanto
(cd)(x,y)=l(2(cd)x,;2(cd)yr)=(2cd,x,2cd,y)
Como 4cdneq2cd em geral, falha associatividade.
8. Identidade escalar?
1,(x,y)=(2cdot1,x,2cdot1,y)=(2x,2y)neq(x,y)
Logo, falha existência de 1 como neutro escalar.

Passo 4

Verificando distributividades:
9. c,(u+v)=cl(|xu+xv|,|yu+yv|r)=(2c|xu+xv|,2c|yu+yv|)
versus
c,u+c,v=l(2c,xu,2c,yur)+l(2c,xv,2c,yvr)=l(|2c xu+2c xv|,dotsr)
Em geral 2c|xu+xv|neq|2c(xu+xv)| para sinais arbitrários; portanto, falha distributividade em relação à soma de vetores.
10. (c+d),u=(2(c+d)x,2(c+d)y)
versus
c,u+d,u=(2c x,2c y)+(2d x,2d y)=(|2c x+2d x|,dots)
Também falha distributividade em relação à soma de escalares.

Passo 5

Como vários axiomas não são satisfeitos, R^2 com essas operações não é espaço vetorial.

Resposta

Não é espaço vetorial. Os axiomas inválidos são:
– Associatividade da adição;
– Existência de elemento neutro aditivo;
– Existência de inverso aditivo;
– Associatividade da multiplicação escalar;
– Existência de 1 como escalar neutro;
– Distributividade da multiplicação escalar sobre soma de vetores;
– Distributividade da multiplicação escalar sobre soma de escalares.

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