A partir do raciocínio desenvolvido em sala de aula, demonstre que a pressão no interior de um fluido em equilíbrio, incompressível, de densidade
, a uma altitude
em relação à superfície livre é dada por
onde
é a pressão atmosférica.
Passo 1
O que o enunciado pede e o que ele dá (peguei tudo do enunciado):
- Pedir: demonstrar a expressão da pressão no interior de um fluido em equilíbrio, incompressível, de densidade
, a uma altitude em relação à superfície livre:
- Dados e definições importantes:
-
é a pressão na superfície livre (pressão atmosférica). -
é a densidade do fluido (constante, porque o fluido é incompressível). -
é a aceleração da gravidade (constante). -
é a altitude medida em relação à superfície livre; aqui tomo a coordenada vertical com na superfície livre e positivo para cima, de modo que o ponto onde queremos a pressão tem .
-
- Meta prática: a gente vai obter uma equação diferencial que relaciona a variação da pressão com a altura e integrar essa equação usando a condição de contorno
.
Passo 2
Escolher um elemento de fluido e escrever o equilíbrio de forças (passo físico fundamental).
- Imagine um pequeno “prisma” de fluido de área de base
e espessura , localizado entre as alturas e . - Forças verticais atuando sobre esse elemento:
- Força de pressão para cima na face de baixo (altura
): . - Força de pressão para baixo na face de cima (altura
): . - Peso do elemento, atuando para baixo: massa
. A massa do elemento é vezes o volume, ou seja . Logo o peso é .
- Força de pressão para cima na face de baixo (altura
- Como o fluido está em equilíbrio estático (sem aceleração), a soma das forças verticais deve ser zero. Tomando para cima sinal positivo:
Passo 3
Passar para a forma diferencial (explicando cada passo algébrico).
- Dividindo a equação anterior por
obtemos
- Reescrevendo:
- Agora lembre o significado do diferencial: o quociente
quando é a derivada . Tomando o limite obtemos a equação diferencial fundamental da estática de fluidos:
- Interpretação física: a derivada
diz como a pressão muda por unidade de altura; o sinal negativo indica que, se subimos ( aumenta), a pressão diminui.
Passo 4
Integrar a equação diferencial usando a condição de contorno (passo matemático).
- A equação
tem lado direito constante porque o fluido é incompressível ( constante) e é constante. Integramos entre (superfície livre) e (a altitude de interesse):
- Calculando as integrais:
- Isolando
e lembrando que o ponto pedido tem altitude , obtemos
Passo 5
Interpretação física, convenções e exemplos para fixar.
- Significado do sinal: com a escolha
positivo para cima, a pressão diminui quando aumenta (subimos em relação à superfície). Se em vez disso usar a profundidade abaixo da superfície (com ), a fórmula fica na forma mais familiar para baixo da superfície:
ou seja, a pressão aumenta com a profundidade.
- Exemplo numérico rápido (para fixar): água com
e . A abaixo da superfície a pressão adicional é . - Observação sobre incompressibilidade: se
dependesse de (fluidos compressíveis), não se poderia tirar da integral e a fórmula geral seria