A partir do raciocínio desenvolvido em sala de aula, demonstre que a pressão no interior de um fluido em equilíbrio, incompressível, de densidade \rho, a uma altitude H em relação à superfície livre é dada por
p=p_{0}-\rho g H
onde p_{0} é a pressão atmosférica.

Passo 1

O que o enunciado pede e o que ele dá (peguei tudo do enunciado):
  • Pedir: demonstrar a expressão da pressão no interior de um fluido em equilíbrio, incompressível, de densidade \rho, a uma altitude H em relação à superfície livre:
p = p_{0} - \rho g H.
  • Dados e definições importantes:
    • p_{0} é a pressão na superfície livre (pressão atmosférica).
    • \rho é a densidade do fluido (constante, porque o fluido é incompressível).
    • g é a aceleração da gravidade (constante).
    • H é a altitude medida em relação à superfície livre; aqui tomo a coordenada vertical z com z=0 na superfície livre e z positivo para cima, de modo que o ponto onde queremos a pressão tem z=H.
  • Meta prática: a gente vai obter uma equação diferencial que relaciona a variação da pressão com a altura e integrar essa equação usando a condição de contorno p(0)=p_{0}.

Passo 2

Escolher um elemento de fluido e escrever o equilíbrio de forças (passo físico fundamental).
  • Imagine um pequeno “prisma” de fluido de área de base A e espessura \mathrm{d}z, localizado entre as alturas z e z+\mathrm{d}z.
  • Forças verticais atuando sobre esse elemento:
    • Força de pressão para cima na face de baixo (altura z): F_{\text{baixo}} = p(z)\,A.
    • Força de pressão para baixo na face de cima (altura z+\mathrm{d}z): F_{\text{cima}} = p(z+\mathrm{d}z)\,A.
    • Peso do elemento, atuando para baixo: massa \times g. A massa do elemento é \rho vezes o volume, ou seja \rho\,A\,\mathrm{d}z. Logo o peso é \rho\,A\,\mathrm{d}z\,g.
  • Como o fluido está em equilíbrio estático (sem aceleração), a soma das forças verticais deve ser zero. Tomando para cima sinal positivo:
p(z)\,A - p(z+\mathrm{d}z)\,A - \rho\,A\,\mathrm{d}z\,g = 0.

Passo 3

Passar para a forma diferencial (explicando cada passo algébrico).
  • Dividindo a equação anterior por A obtemos
p(z) - p(z+\mathrm{d}z) - \rho\,\mathrm{d}z\,g = 0.
  • Reescrevendo:
p(z+\mathrm{d}z)-p(z) = -\rho g\,\mathrm{d}z.
  • Agora lembre o significado do diferencial: o quociente \dfrac{p(z+\mathrm{d}z)-p(z)}{\mathrm{d}z} quando \mathrm{d}z\to 0 é a derivada \dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z}. Tomando o limite \mathrm{d}z\to 0 obtemos a equação diferencial fundamental da estática de fluidos:
\frac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z} = -\rho g.
  • Interpretação física: a derivada \dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z} diz como a pressão muda por unidade de altura; o sinal negativo indica que, se subimos ( z aumenta), a pressão diminui.

Passo 4

Integrar a equação diferencial usando a condição de contorno (passo matemático).
  • A equação \dfrac{\mathrm{d}p}{\mathrm{d}z} = -\rho g tem lado direito constante porque o fluido é incompressível ( \rho constante) e g é constante. Integramos entre z=0 (superfície livre) e z=H (a altitude de interesse):
\int_{p(0)=p_{0}}^{p(H)} \mathrm{d}p \;=\; -\rho g \int_{0}^{H} \mathrm{d}z.
  • Calculando as integrais:
p(H) - p_{0} = -\rho g \, H.
  • Isolando p(H) e lembrando que o ponto pedido tem altitude H, obtemos
p = p_{0} - \rho g H.

Passo 5

Interpretação física, convenções e exemplos para fixar.
  • Significado do sinal: com a escolha z positivo para cima, a pressão diminui quando H aumenta (subimos em relação à superfície). Se em vez disso usar a profundidade abaixo da superfície h\ge 0 (com h=-H), a fórmula fica na forma mais familiar para baixo da superfície:
p = p_{0} + \rho g h,
ou seja, a pressão aumenta com a profundidade.
  • Exemplo numérico rápido (para fixar): água com \rho=1000\\ \mathrm{kg/m^{3}} e g\approx 9{,}81\\ \mathrm{m/s^{2}}. A h=10\\ \mathrm{m} abaixo da superfície a pressão adicional é \rho g h = 1000\cdot 9{,}81\cdot 10 = 9{,}81\times 10^{4}\\ \mathrm{Pa}.
  • Observação sobre incompressibilidade: se \rho dependesse de z (fluidos compressíveis), não se poderia tirar \rho da integral e a fórmula geral seria
p(H) = p_{0} - g\int_{0}^{H} \rho(z)\,\mathrm{d}z.

Resposta

p = p_{0} - \rho g H

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